Question

如圖，已知△ABC中，∠A=90°，AC=10，AB=5，點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸上，且C（0，8），拋物線y=

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x²+bx+c過B、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線解析式．
（2）如果將△ABC沿CA翻折，設(shè)點(diǎn)B的落點(diǎn)為點(diǎn)M，現(xiàn)平移拋物線，使它的頂點(diǎn)為M，求出平移后的拋物線解析式，并寫出平移的方法．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)B（x，y）．根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，C點(diǎn)代入函數(shù)解析式求得c值及y=

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x²+bx+8③；然后根據(jù)勾股定理、兩點(diǎn)間的距離公式求得（x-6）²+y²=25①，
125=x²+（y-8）²②，聯(lián)立①②③解出b值．
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)知，點(diǎn)M與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，所以M（2，-3）．然后根據(jù)頂點(diǎn)式二次函數(shù)的解法求平移后的拋物線的方程；最后由平移的方法回答問題．

解答：解：（1）∵拋物線y=

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x²+bx+c過C點(diǎn)，且C（0，8），
∴8=c，
∴OC=8；
在Rt△AOC中，AC=10，OC=8，
∴根據(jù)勾股定理，得OA=6．
如圖1，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D．
∵∠COA=∠ADB=90°，∠ACO=∠BAD（同角的余角相等），
∴△COA∽△ADB，
∴

OC

DA

=

CA

AB

，即

8

DA

=

10

5

，則DA=4．
∴BD=3（勾股定理），
∴B（10，3）．
∵拋物線y=

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x²+bx+c過B、C兩點(diǎn)．
∴

8=c 3= 1 4 ×102+10b+c

，
解得

b=-3 c=8

，
∴該拋物線的解析式是：y=

1

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x²-3x+8，
即y=

1

4

（x-6）²-1；

（2）由（1）得B（10，3）．
根據(jù)題意知，點(diǎn)M與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，所以M（2，-3）．
∴平移后的拋物線解析式是：
y=

1

4

（x-2）²-3；
方法：向左平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．