Question

【題目】閱讀理解：

我們把滿(mǎn)足某種條件的所有點(diǎn)所組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡．

例如：角的平分線(xiàn)是到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡．

問(wèn)題：如圖1，已知EF為△ABC的中位線(xiàn)，M是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM交EF于點(diǎn)P，那么動(dòng)點(diǎn)P為線(xiàn)段AM中點(diǎn)．

理由：∵線(xiàn)段EF為△ABC的中位線(xiàn)，∴EF∥BC，

由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例得：動(dòng)點(diǎn)P為線(xiàn)段AM中點(diǎn)．

由此你得到動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是： ．

知識(shí)應(yīng)用：

如圖2，已知EF為等邊△ABC邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EF；若AF=BE，且等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，求線(xiàn)段EF中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)．

拓展提高：

如圖3，P為線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），在線(xiàn)段AB的同側(cè)分別作等邊△APC和等邊△PBD，連結(jié)AD、BC，交點(diǎn)為Q．

（1）求∠AQB的度數(shù)；

（2）若AB=6，求動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】閱讀理解：EF；知識(shí)應(yīng)用：4；拓展提高：（1）∠AQB=120°，（2）動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)π．

【解析】

試題分析：閱讀理解：根據(jù)軌跡的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線(xiàn)段EF．知識(shí)應(yīng)用：如圖1中，作△ABC的中位線(xiàn)MN，作EG∥AC交NM的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，EF與MN交于點(diǎn)Q′，△GQ′E≌△NQ′F，推出Q、Q′重合即可解決問(wèn)題．拓展提高：如圖2中，（1）只要證明△APD≌△CPB，推出∠DQG=∠BPG=60°結(jié)論解決問(wèn)題．（2）由（1）可知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是，設(shè)弧AB所在圓的圓心為O，Z 圓上任意取一點(diǎn)M，連接AM，BM，則∠M=60°，作OH⊥AB于H，則AH=BH=3，OH=，OB=2，利用弧長(zhǎng)公式即可解決．

試題解析：閱讀理解：根據(jù)軌跡的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線(xiàn)段EF．

知識(shí)應(yīng)用：如圖1中，作△ABC的中位線(xiàn)MN，作EG∥AC交NM的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，EF與MN交于點(diǎn)Q′

∵△ABC是等邊三角形，MN是中位線(xiàn)，

∴AM=BM=AN=CN，

∵AF=BE，

∴EM=FN，

∵MN∥BC，

∴∠AMN=∠B=∠GME=60°，

∵∠A=∠GEM=60°，

∴△GEM是等邊三角形，

∴EM=EG=FN，

在△GQ′E和△NQ′F中，

，

∴△GQ′E≌△NQ′F，

∴EQ′=FQ′，

∵EQ=QF，

′點(diǎn)Q、Q′重合，

∴點(diǎn)Q在線(xiàn)段MN上，

∴段EF中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是線(xiàn)段MN，

MN=BC=×8=4．

∴線(xiàn)段EF中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)為4．

拓展提高：如圖2中，

（1）∵△APC，△PBD都是等邊三角形，

∴AP=PC，PD=PB，∠APC=∠DPB=60°，

∴∠APD=∠CPB，

在△APD和△CPB中，

，

∴△APD≌△CPB，

∴∠ADP=∠CBP，設(shè)BC與PD交于點(diǎn)G，

∵∠QGD=∠PGB，

∴∠DQG=∠BPG=60°，

∴∠AQB=180°﹣∠DQG=120°

（2）由（1）可知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是，設(shè)弧AB所在圓的圓心為O，Z 圓上任意取一點(diǎn)M，連接AM，BM，則∠M=60°，

∴∠AOB=2∠M=120°，作OH⊥AB于H，則AH=BH=3，OH=，OB=2，

∴弧AB的長(zhǎng)==π．

∴動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)π．