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        1. 如圖,△ABC為正三角形,面積為S.D1,E1,F(xiàn)1分別是△ABC三邊上的點,且AD1=BE1=CF1=
          1
          2
          AB,可得△D1E1F1,則△D1E1F1的面積S1=______;如,D2,E2,F(xiàn)2分別是△ABC三邊上的點,且AD2=BE2=CF2=
          1
          3
          AB,則△D2E2F2的面積S2=______;按照這樣的思路探索下去,Dn,En,F(xiàn)n分別是△ABC三邊上的點,且
          ADn=BEn=CFn=
          1
          n+1
          AB,則Sn=______.
          ∵△ABC為正三角形,
          ∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°,
          ∵AD1=BE1=CF1=
          1
          2
          AB,
          ∴BD1=CE1=AF1=
          1
          2
          AB,
          ∴△AD1F1≌△BD1E1≌△CE1F1,
          設等邊△ABC的邊長為a,
          則S=
          1
          2
          a2sin60°,
          △AD1F1的面積=
          1
          2
          ×
          1
          2
          a•
          1
          2
          a•sin60°=
          1
          4
          S,
          ∴△D1E1F1的面積S1=S-3×
          1
          4
          S=
          1
          4
          S;

          同理,AD2=BE2=CF2=
          1
          3
          AB時,
          BD2=CE2=AF2=
          2
          3
          AB,
          △AD2F2的面積S2=
          1
          2
          ×
          1
          3
          a•
          2
          3
          a•sin60°=
          2
          9
          S,
          △D2E2F2的面積S2=S-3×
          2
          9
          S=
          1
          3
          S;

          ADn=BEn=CFn=
          1
          n+1
          AB時,
          BDn=CEn=AFn=
          n
          n+1
          AB,
          △ADnFn的面積=
          1
          2
          ×
          1
          n+1
          a•
          n
          n+1
          a•sin60°=
          n
          (n+1)2
          S,
          △DnEnFn的面積Sn=S-3×
          n
          (n+1)2
          S=
          n2-n+1
          (n+1)2
          S.
          故答案為:
          1
          4
          S,
          1
          3
          S,
          n2-n+1
          (n+1)2
          S.
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

          下列說法中,正確的是( 。
          A.等邊三角形的“三線合一”
          B.有一個角是60°的三角形是等邊三角形
          C.在直角三角形中,直角邊等于斜邊的一半
          D.有兩個角相等的三角形是等邊三角形

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          科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,直角坐標系中,點A的坐標為(a,0),以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊△AOB,點C為x正半軸上一動點(OC>a>0),連接BC,以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD,直線DA交y軸于點E.
          (1)求證:OC=AD.
          (2)隨著點C位置的變化,點E的位置是否會發(fā)生變化?若沒有變化,求出點E的坐標;若有變化,請說明理由.
          (3)當C點運動到使OA:AC=1:3時,求出此時D點的坐標.

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          科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

          如圖,已知:∠MON=30°,點A1、A2、A3在射線ON上,點B1、B2、B3…在射線OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形,若OA1=1,則△A6B6A7的邊長為______.

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          科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

          如圖,在邊長為20cm的等邊三角形ABC紙片中,以頂點C為圓心,以此三角形的高為半徑畫弧分別交AC、BC于點D、E,則扇形CDE所圍的圓錐(不計接縫)的底圓半徑為( 。
          A.
          5
          3
          3
          cm
          B.
          10
          3
          3
          cm
          C.5
          3
          cm
          D.10
          3
          cm

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          科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          已知:等邊△ABC的邊長為a.
          探究(1):如圖1,過等邊△ABC的頂點A、B、C依次作AB、BC、CA的垂線圍成△MNG,求證:△MNG是等邊三角形且MN=
          3
          a;
          探究(2):在等邊△ABC內(nèi)取一點O,過點O分別作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA,垂足分別為點D、E、F.
          ①如圖2,若點O是△ABC的重心,我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質(zhì)得到兩個正確結(jié)論(不必證明):結(jié)論1. OD+OE+OF=
          3
          2
          a;結(jié)論2. AD+BE+CF=
          3
          2
          a;
          ②如圖3,若點O是等邊△ABC內(nèi)任意一點,則上述結(jié)論1,2是否仍然成立?如果成立,請給予證明;如果不成立,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖:△ABC是等邊三角形?
          (1)若AD=BE=CF,求證△DEF是等邊三角形.?
          (2)請問(1)的逆命題成立嗎?若成立,請證明,若不成立,請用反例說明?

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          科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

          如圖,木工師傅從邊長為90cm的正三角形木板上鋸出一正六邊形木塊,那么正六邊形木板的邊長為(  )
          A.34cmB.32cmC.30cmD.28cm

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          科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖1,若△ABC和△ADE為等邊三角形,M,N分別EB,CD的中點,易證:CD=BE,△AMN是等邊三角形.

          (1)當把△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時,CD=BE是否仍然成立?若成立,請證明,若不成立,請說明理由;
          (2)當△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時,△AMN是否還是等邊三角形?若是,請給出證明,并求出當AB=2AD時,△ADE與△ABC及△AMN的面積之比;若不是,請說明理由.

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