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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】已知,□ABCD中∠ABC=90°,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F,垂足為O.

          (1)如圖1,連接AF、CE.求證:四邊形AFCE為平行四邊形.

          (2)如圖1,求AF的長.

          (3)如圖2,動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā),沿AFBCDE各邊勻速運動一周.即點PA→F→B→A停止,點QC→D→E→C停止.在運動過程中,點P的速度為每秒1cm,點Q的速度為每秒0.8cm,設運動時間為t秒,若當A、P、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,求t的值.

          【答案】(1)證明見解析;(2)AF=5;(3)以A,C,P,Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,t=秒.

          【解析】分析:(1)①先證明四邊形ABCD為平行四邊形,再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定;

          ②根據勾股定理即可求AF的長;

          2)分情況討論可知,P點在BF上,Q點在ED上時,才能構成平行四邊形,根據平行四邊形的性質列出方程求解即可;

          詳解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,

          ADBC,

          ∴∠CAD=ACB,∠AEF=CFE

          EF垂直平分AC,

          OA=OC

          在△AOE和△COF中,

          ,

          ∴△AOE≌△COFAAS),

          OE=OFAAS).

          EFAC,

          ∴四邊形AFCE為菱形.即四邊形AFCE為平行四邊形.

          ②設菱形的邊長AF=CF=xcm,則BF=8-xcm,

          RtABF中,AB=4cm,由勾股定理,得

          16+8-x2=x2,

          解得:x=5,

          AF=5

          2)由作圖可以知道,PAF上時,QCD上,此時AC,PQ四點不可能構成平行四邊形;

          同理PAB上時,QDECE上,也不能構成平行四邊形.

          ∴只有當P點在BF上,Q點在ED上時,才能構成平行四邊形,

          ∴以A,C,P,Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,

          PC=QA,

          ∵點P的速度為每秒5cm,點Q的速度為每秒4cm,運動時間為t秒,

          PC=t,QA=12-0.8t,

          t=12-0.8t,

          解得:t=

          ∴以A,C,PQ四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,t=秒.

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