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        1. (2013•咸寧模擬)操作探究題:
          (1)在平面直角坐標(biāo)系x0y中,畫出函數(shù)y=-2x2的圖象;
          (2)將拋物線y=-2x2怎樣平移,使得平移后的拋物線滿足:①過原點,②拋物線與x正半軸的另一個交點為Q,其頂點為P,且∠OPQ=90°;并寫出拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
          (3)在上述直角坐標(biāo)系中,以O(shè)為圓心,OP為半徑畫圓,交x軸于A、B(A點在左邊)兩點,在拋物線(2)上是否存在一點M,使S△MOA:S△POB=2:1?若存在,求出M點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
          (4)在(3)的條件下,是否存這樣的直線過A點且與拋物線只有一個交點?若存在,直接寫出其解析式.若不存在,說明理由.
          分析:(1)取函數(shù)圖象上的三個不同點,通過描點、連線進(jìn)行作圖即可.
          (2)由于Q、O關(guān)于新拋物線的對稱軸對稱,即點P在線段OQ的垂直平分線上,首先能判斷出的是△OPQ一定是等腰三角形,若∠OPQ=90°,那么該三角形一定是等腰直角三角形,若設(shè)P(a、a),那么Q(2a,0),利用待定系數(shù)法可確定該函數(shù)的解析式,進(jìn)一步可判斷出平移方案.
          (3)首先求出P、A、B的坐標(biāo),則△MOA、△POB的面積可知,根據(jù)三角形的面積公式即可得到M點的縱坐標(biāo),代入(2)的拋物線解析式中,可得到M點的完整坐標(biāo)(注意M可能在x軸的上方和下方).
          (4)分兩種情況:①過點A且平行于y軸;②設(shè)出該直線的解析式,然后聯(lián)立直線、拋物線的解析式組成方程,若兩函數(shù)只有一個交點,那么方程的根的判別式為0,按此思路解答即可.
          解答:解:(1)。0,0)、(1,-2)、(-1,-2)三點,作圖如下:


          (2)由題意知:O、Q關(guān)于平移后的拋物線的對稱軸對稱,所以頂點P在OQ的垂直平分線上,即△OPQ是等腰三角形;
          若∠OPQ=90°,那么△OPQ是等腰三角形,若設(shè)P(a,a),則Q(2a,0);
          設(shè)拋物線的解析式為:y=-2(x-a)2+a,由于拋物線經(jīng)過Q(2a,0),則:
          -2a2+a=0,得:a=
          1
          2
          或a=0;
          ∴拋物線的解析式為:y=-2(x-
          1
          2
          2+
          1
          2
          ;
          平移方案:先將拋物線y=-2x2向右平移
          1
          2
          個單位,再向上平移
          1
          2
          個單位.

          (3)由題意知:S△MOA=2S△POB,且OP=OA=OB;
          S△OPB=
          1
          2
          OB•|yP|=
          1
          2
          ×OB×
          1
          2
          ;
          S△MOA=
          1
          2
          OA•|yM|=
          1
          2
          ×OA×|yM|;
          ∴|yM|=2|yP|=1,即M點縱坐標(biāo)為:-1(1舍去).
          由(2)得拋物線的解析式為:y=-2x2+2x,當(dāng)y=-1時:
          -2x2+2x=-1,x1=
          1+
          3
          2
          、x2=
          1-
          3
          2
          ;
          ∴存在符合條件的M點,且坐標(biāo)為(
          1+
          3
          2
          ,-1)(
          1-
          3
          2
          ,-1).

          (4)由(2)知:P(
          1
          2
          ,
          1
          2
          ),則OP=OA=
          2
          2
          ,A(-
          2
          2
          ,0);
          ①過點A且與y軸平行的直線:x=-
          2
          2
          ;
          交(2)的拋物線于點(-
          2
          2
          ,-
          2
          -1);
          ②當(dāng)該直線與y軸不平行時,設(shè)直線的解析式為:y=kx+b,由于過點A(-
          2
          2
          ,0),則有:
          -
          2
          2
          k+b=0,b=
          2
          2
          k;
          即:該直線的解析式:y=kx+
          2
          2
          k,聯(lián)立拋物線的解析式,得:
          kx+
          2
          2
          k=-2x2+2x,化簡得:2x2+(k-2)x+
          2
          2
          k=0
          由于兩函數(shù)只有一個交點,則:
          △=(k-2)2-4×2×
          2
          2
          k=k2-(4+4
          2
          )k+4=0,
          解得:k=2+2
          2
          ±2
          2+2
          2

          ∴y=(2+2
          2
          +2
          2+2
          2
          )x+2+
          2
          +
          2
          2
          +4
          或y=(2+2
          2
          -2
          2+2
          2
          )x+2+
          2
          -
          2
          2
          +4
          ;
          綜上,符合條件的直線有三條:x=-
          2
          2
          、y=(2+2
          2
          +2
          2+2
          2
          )x+2+
          2
          +
          2
          2
          +4
          或y=(2+2
          2
          -2
          2+2
          2
          )x+2+
          2
          -
          2
          2
          +4
          點評:該題的難度不大,主要考查的函數(shù)解析式的確定及圖象的畫法、函數(shù)圖象的平移、圖形面積的解法、函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法等基礎(chǔ)知識,(4)題中,與y軸平行的直線容易漏掉,這是該題的一個易錯點.
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          A.2.0×107
          B.2.0×108
          C.2.0×109
          D.2.0×1010

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