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        1. 【題目】如圖,拋物線yax2+bx2x軸交于兩點A(﹣10)和B4,0),與Y軸交于點C,連接AC、BC、AB

          1)求拋物線的解析式;

          2)點D是拋物線上一點,連接BD、CD,滿足,求點D的坐標;

          3)點E在線段AB上(與A、B不重合),點F在線段BC上(與B、C不重合),是否存在以C、E、F為頂點的三角形與△ABC相似,若存在,請直接寫出點F的坐標,若不存在,請說明理由.

          【答案】1;(2D的坐標為,,(1,﹣3)或(3,﹣2).(3)存在,F的坐標為,(2,﹣1)或

          【解析】

          (1)根據(jù)點A,B的坐標,利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式;

          (2)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標,結(jié)合點A,B的坐標可得出AB,AC,BC的長度,由AC2+BC2=25=AB2可得出∠ACB=90°,過點D作DM∥BC,交x軸于點M,這樣的M有兩個,分別記為M1,M2,由D1M1∥BC可得出△AD1M1∽△ACB,利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合S△DBC ,可得出AM1的長度,進而可得出點M1的坐標,由BM1=BM2可得出點M2的坐標,由點B,C的坐標利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式,進而可得出直線D1M1,D2M2的解析式,聯(lián)立直線DM和拋物線的解析式成方程組,通過解方程組即可求出點D的坐標;

          (3)分點E與點O重合及點E與點O不重合兩種情況考慮:①當點E與點O重合時,過點O作OF1⊥BC于點F1,則△COF1∽△ABC,由點A,C的坐標利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式,進而可得出直線OF1的解析式,聯(lián)立直線OF1和直線BC的解析式成方程組,通過解方程組可求出點F1的坐標;②當點E不和點O重合時,在線段AB上取點E,使得EB=EC,過點E作EF2⊥BC于點F2,過點E作EF3⊥CE,交直線BC于點F3,則△CEF2∽△BAC∽△CF3E.由EC=EB利用等腰三角形的性質(zhì)可得出點F2為線段BC的中點,進而可得出點F2的坐標;利用相似三角形的性質(zhì)可求出CF3的長度,設(shè)點F3的坐標為(x, x﹣2),結(jié)合點C的坐標可得出關(guān)于x的方程,解之即可得出x的值,將其正值代入點F3的坐標中即可得出結(jié)論.綜上,此題得解.

          (1)將A(﹣1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx﹣2,得:

          ,解得:

          ∴拋物線的解析式為y= x2x﹣2.

          (2)當x=0時,y=x2x﹣2=﹣2,

          ∴點C的坐標為(0,﹣2).

          ∵點A的坐標為(﹣1,0),點B的坐標為(4,0),

          ∴AC=,BC= =2,AB=5.

          ∵AC2+BC2=25=AB2,

          ∴∠ACB=90°.

          過點D作DM∥BC,交x軸于點M,這樣的M有兩個,分別記為M1,M2,如圖1所示.

          ∵D1M1∥BC,

          ∴△AD1M1∽△ACB.

          ∵S△DBC,

          ,

          ∴AM1=2,

          ∴點M1的坐標為(1,0),

          ∴BM1=BM2=3,

          ∴點M2的坐標為(7,0).

          設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c(k≠0),

          將B(4,0),C(0,﹣2)代入y=kx+c,得:

          ,解得: ,

          ∴直線BC的解析式為y= x﹣2.

          ∵D1M1∥BC∥D2M2,點M1的坐標為(1,0),點M2的坐標為(7,0),

          ∴直線D1M1的解析式為y= x﹣ ,直線D2M2的解析式為y=x﹣

          聯(lián)立直線DM和拋物線的解析式成方程組,得:,

          解得:, ,

          ∴點D的坐標為(2﹣ , ),(2+ ,),(1,﹣3)或(3,﹣2).

          (3)分兩種情況考慮,如圖2所示.

          ①當點E與點O重合時,過點O作OF1⊥BC于點F1,則△COF1∽△ABC,

          設(shè)直線AC的解析設(shè)為y=mx+n(m≠0),

          將A(﹣1,0),C(0,﹣2)代入y=mx+n,得:

          ,解得:

          ∴直線AC的解析式為y=﹣2x﹣2.

          ∵AC⊥BC,OF1⊥BC,

          ∴直線OF1的解析式為y=﹣2x.

          連接直線OF1和直線BC的解析式成方程組,得:

          解得: ,

          ∴點F1的坐標為( ,﹣ );

          ②當點E不和點O重合時,在線段AB上取點E,使得EB=EC,過點E作EF2⊥BC于點F2,過點E作EF3⊥CE,交直線BC于點F3,則△CEF2∽△BAC∽△CF3E.

          ∵EC=EB,EF2⊥BC于點F2

          ∴點F2為線段BC的中點,

          ∴點F2的坐標為(2,﹣1);

          ∵BC=2

          ∴CF2 BC= ,EF2 CF2 ,F(xiàn)2F3 EF2 ,

          ∴CF3

          設(shè)點F3的坐標為(x, x﹣2),

          ∵CF3,點C的坐標為(0,﹣2),

          ∴x2+[x﹣2﹣(﹣2)]2,

          解得:x1=﹣ (舍去),x2,

          ∴點F3的坐標為(,﹣ ).

          綜上所述:存在以C、E、F為頂點的三角形與△ABC相似,點F的坐標為( ,﹣ ),(2,﹣1)或( ,﹣ ).

          練習冊系列答案
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          (收集數(shù)據(jù))

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          區(qū)域

          區(qū)域

          (整理、描述數(shù)據(jù))

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          海豚數(shù)

          區(qū)域

          _________

          _________

          區(qū)域

          2)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù),眾數(shù)如下所示:

          觀測點

          平均數(shù)

          中位數(shù)

          眾數(shù)

          區(qū)域

          區(qū)域

          請?zhí)羁眨荷媳碇兄形粩?shù)_______,,眾數(shù)______;

          3)規(guī)劃者們選擇了區(qū)域為大橋的必經(jīng)地,為減少施工對白海豚的影響,合理安排施工時間,估計在接下來的天施工期內(nèi),區(qū)域大約有多少天中華白海豚出現(xiàn)的數(shù)目在的范圍內(nèi)?

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