Question

如圖①，已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CB的延長(zhǎng)線上，且BE=BF，連接EF．
（1）若取AE的中點(diǎn)P，求證：BP=

1

2

CF；
（2）在圖①中，若將△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），如圖②，是否存在某位置，使得AE∥BF？，若存在，求出所有可能的旋轉(zhuǎn)角α的大��；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）在圖①中，若將△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖③，取AE的中點(diǎn)P，連接BP、CF，求證：BP=

1

2

CF且BP⊥CF．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出BC=AB，根據(jù)中點(diǎn)定義得出2BE=2AE=AB，2PE=AE，得出BE=BF，代入求出即可；
（2）根據(jù)平行線性質(zhì)得出△AEB是直角三角形，根據(jù)cotα=

BE

AB

=

1

2

，求出α即可；
（3）延長(zhǎng)BP到G，使BP=PG，連接AG、EG，延長(zhǎng)PB交CF于H，得出四邊形ABEG是平行四邊形，推出AG=BE=BF，AG∥BE，求出∠CBF=∠BAG，根據(jù)SAS證△AGB≌△BCF，推出CF=BG=2BP，∠ABG=∠BCF，求出∠CHB的度數(shù)即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=AB，
∵E為AB中點(diǎn)，P為AE中點(diǎn)，
∴2BE=2AE=AB，2PE=AE，
∵BE=BF，
∴CF=BC+BF=3BE，BP=BE+

1

2

BE=

3

2

BE，
∴BP=

1

2

CF．

（2）解：存在，
∵AE∥BF，
∵EB⊥BF，
∴EB⊥AE，
∴α=∠ABE，
∵cosα=

BE

AB

=

1

2

，
∴α=60°或300°．
存在，使得AE∥BF，當(dāng)α=60°或300°時(shí)，AE∥BF．


（3）證明：延長(zhǎng)BP到G，使BP=PG，連接AG、EG，延長(zhǎng)PB交CF于H，
∵AP=EP，BP=PG，
∴四邊形ABEG是平行四邊形，
∴AG=BE=BF，AG∥BE，
∴∠GAB+∠ABE=180°，
∵∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠CBF+∠ABE=360°-180°=180°，
∴∠CBF=∠BAG，
在△AGB和△BCF中

AG=BF ∠GAB=∠FBC AB=BC

，
∴△AGB≌△BCF，
∴CF=BG=2BP，∠ABG=∠BCF，
∴∠ABG+∠CBH=180°-90°=90°，
∴∠BCF+∠CBH=90°，
∴∠CHB=180°-90°=90°，
∴BP⊥CF，BP=

1

2

CF．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，垂直定義等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，本題的綜合性比較強(qiáng)，培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目較好，但是有一定的難度，對(duì)學(xué)生提出較高的要求．