Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在第四象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（60，0），OA=AB，∠OAB=90°，OC=50．點(diǎn)P是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O、B重合），過點(diǎn)P與y軸平行的直線l交邊OA或邊AB于點(diǎn)Q，交邊OC或邊BC于點(diǎn)R，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t，線段QR的長度為m．已知t=40時(shí)，直線l恰好經(jīng)過點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)0＜t＜30時(shí)，求m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)m=35時(shí)，請直接寫出t的值；
（4）直線l上有一點(diǎn)M，當(dāng)∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周長為60時(shí)，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，過點(diǎn)A作AD⊥OB，垂足為D，過點(diǎn)C作CE⊥OB，垂足為E，

∵OA=AB，

∴OD=DB=OB，

∵∠OAB=90°，

∴AD=OB，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（60，0），

∴OB=60，

∴OD=OB=×60=30，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（30，30），

∵直線l平行于y軸且當(dāng)t=40時(shí)，直線l恰好過點(diǎn)C，

∴OE=40，

在Rt△OCE中，OC=50，

由勾股定理得：

CE===30，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（40，﹣30）；

（2）

解：如圖2，

∵∠OAB=90°，OA=AB，

∴∠AOB=45°，

∵直線l平行于y軸，

∴∠OPQ=90°，

∴∠OQP=45°，

∴OP=QP，

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，

∴OP=QP=t，

在Rt△OCE中，

OE=40，CE=30，

∴tan∠EOC=，

∴tan∠POR==，

∴PR=OPtan∠POR=t，

∴QR=QP+PR=t+t=t，

∴當(dāng)0＜t＜30時(shí)，m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為：m=t；

（3）

解：由（2）得：當(dāng)0＜t＜30時(shí)，m=35=t，解得：t=20；

如圖3，

當(dāng)30≤t≤40時(shí)，m=35顯然不可能；

當(dāng)40＜t＜60時(shí)，∵OP=t，則BP=QP=60﹣t，

∵PR∥CE，

∴△BPR∽△BEC，

∴=，

∴=，

解得：PR=90﹣t，

則m=60﹣t+90﹣t=35，

解得：t=46，

綜上所述：t的值為20或46；

（4）

解：如圖4，

當(dāng)∠PMB+∠POC=90°且△PMB的周長為60時(shí)，此時(shí)t=40，直線l恰好經(jīng)過點(diǎn)C，

則∠MBP=∠COP，

故此時(shí)△BMP∽△OCP，

則=，

即=，

解得：x=15，

故M1（40，15），同理可得：M2（40，﹣15），

綜上所述：符合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)為：M1（40，15），M2（40，﹣15）．

【解析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理結(jié)合B點(diǎn)坐標(biāo)得出A，C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合（1）中所求得出PR，QP的長，進(jìn)而求出即可；
（3）利用（2）中所求，利用當(dāng)0＜t＜30時(shí)，當(dāng)30≤t≤60時(shí)，分別利用m與t的關(guān)系式求出即可；
（4）利用相似三角形的性質(zhì)，得出M點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)．