Question

如圖，已知∠AOM=60°，在射線OM上有點(diǎn)B，使得AB與OB的長度都是整數(shù)，由此稱B是“完美點(diǎn)”，若OA=8，則圖中完美點(diǎn)B的個(gè)數(shù)為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：首先過點(diǎn)B作BC⊥OA，交OA于點(diǎn)C，連接AB，可能有兩種情況，垂足在OA上或者垂足在OA延長線上，然后設(shè)OB=y，AB=x，由勾股定理即可求得：y²-（

1

2

y）²=x²-（8-

1

2

y）²或x²-（

1

2

y-4）²=y²-（

1

2

y）²，整理可得x²-（y-4）²=48，然后將原方程轉(zhuǎn)為 X²-Y²=48，先求（X+Y）（X-Y）=48的正整數(shù)解，繼而可求得答案．

解答：解，過點(diǎn)B作BC⊥OA，交OA于點(diǎn)C，連接AB，可能有兩種情況，垂足在OA上或者垂足在OA延長線上．
設(shè)OB=y，AB=x，
∵∠AOM=60°，
∴OC=OB•cos6°=

1

2

y，
∴AC=OA-OC=8-

1

2

y或AC=OC-OA=

1

2

y-8，
∵BC²=OB²-OC²，BC²=AB²-AC²，
∴y²-（

1

2

y）²=x²-（8-

1

2

y）²或x²-（

1

2

y-4）²=y²-（

1

2

y）²，
∴x²-（y-4）²=48，
∵x與y是正整數(shù)，且y必為正整數(shù)，x-4為大于等于-4的整數(shù)，
將原方程轉(zhuǎn)為 X²-Y²=48，先求（X+Y）（X-Y）=48的正整數(shù)解，
∵（X+Y）和（X-Y）同奇同偶，
∴（X+Y）和（X-Y）同為偶數(shù)；
∴X²-Y²=48可能有幾組正整數(shù)解：

X+Y=24 X-Y=2

，

X+Y=12 X-Y=4

，

X+Y=8 X-Y=6

，
解得：

X=13 Y=11

，

X=8 Y=4

，

X=7 Y=1

，
∴x的可能值有3個(gè)：x=7，x=8或x=13，
當(dāng)x=7時(shí)，y-4=±1，y=3或y=5；
當(dāng)x=8時(shí)，y-4=±4，y=8或y=0（舍去）；
當(dāng)x=13時(shí)，y-4=±11，y=15或y=-7（舍去）；
∴共有4組解：

x=7 y=3

或

x=7 y=5

或

x=8 y=8

或

x=13 y=11

．
故選D．

點(diǎn)評：此題考查了勾股定理的應(yīng)用以及整數(shù)的綜合應(yīng)用問題．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．