Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在y 軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3，過原點(diǎn)O作∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，連接DC，過點(diǎn)D作DE⊥DC，交OA 于點(diǎn)E。

（1）求過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式；
（2）將∠EDC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與 y軸的正半軸交于點(diǎn)F，另一邊與線段OC交于點(diǎn) G，如果DF與（1）中的拋物線交于另一點(diǎn)M，點(diǎn)M 的橫坐標(biāo)為，那么EF=2GO是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得直線GQ與AB的交點(diǎn)P與點(diǎn) C、G構(gòu)成的△PCG是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD，
∵AB∥OC，
∴∠ADO=∠COD，
∴∠ADO=∠AOD，
∴AD=AO=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2），
∵OA=2，OC=3，
∴BD=1，
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠BDC=90°，
∴∠ADE=∠BCD，
∵∠DAE=∠CBD=90°，AD=BC=2，
∴△ADE∽△BCD，
∴AE=BD=1，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1），
∵OC=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
將E、D、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得，
∴；
（2）EF=2OG成立，
證明：把代入得，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
設(shè)直線DM的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，解得，
∴，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，3），
∴EF=2，
作DH⊥OC于H，
∵DH=AD，∠GHD=∠FAD=90°，∠GDH=∠FDA，
∴△FAD≌△GHD，
∴GH=AF=1，
∴DG=1，
∴EF=2OG；
（3）存在；
∵OG=1，
∴CG=2，
①當(dāng)PG=CG=2時(shí)，PG⊥OC，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），
∴把x=1代入得，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；
②當(dāng)PC=CG時(shí)，PC⊥OC，
∴點(diǎn)P就是點(diǎn)B，坐標(biāo)為（3，2），
設(shè)直線BG的解析式為y=kx+b（k≠0），得出，解得，
∴y=x-1，
∵點(diǎn)Q是直線BG與拋物線的交點(diǎn)，
∴，
解得或，
又∵點(diǎn)Q在第一象限，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；
③當(dāng)PG=PC時(shí)，點(diǎn)P在CG的垂直平分線上，
∴點(diǎn)P就是點(diǎn)D，點(diǎn)D也是點(diǎn)Q，坐標(biāo)為（2，2），
∴綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或（2，2）。