Question

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA在y 軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3，過原點O作∠AOC的平分線交AB于點D，連接DC，過點D作DE⊥DC，交OA 于點E。

（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；
（2）將∠EDC繞點D按順時針方向旋轉后，角的一邊與 y軸的正半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點 G，如果DF與（1）中的拋物線交于另一點M，點M 的橫坐標為，那么EF=2GO是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）對于（2）中的點G，在位于第一象限內的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點 C、G構成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD，
∵AB∥OC，
∴∠ADO=∠COD，
∴∠ADO=∠AOD，
∴AD=AO=2，
∴點D的坐標為（2，2），
∵OA=2，OC=3，
∴BD=1，
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠BDC=90°，
∴∠ADE=∠BCD，
∵∠DAE=∠CBD=90°，AD=BC=2，
∴△ADE∽△BCD，
∴AE=BD=1，
∴點E的坐標為（0，1），
∵OC=3，
∴點C的坐標為（3，0），
設過點E、D、C的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
將E、D、C三點坐標代入，得，解得，
∴；
（2）EF=2OG成立，
證明：把代入得，
∴點M的坐標為，
設直線DM的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，解得，
∴，
當x=0時，y=3，
∴點F的坐標為（0，3），
∴EF=2，
作DH⊥OC于H，
∵DH=AD，∠GHD=∠FAD=90°，∠GDH=∠FDA，
∴△FAD≌△GHD，
∴GH=AF=1，
∴DG=1，
∴EF=2OG；
（3）存在；
∵OG=1，
∴CG=2，
①當PG=CG=2時，PG⊥OC，
∴點P的坐標為（1，2），
∴把x=1代入得，
∴點Q的坐標為；
②當PC=CG時，PC⊥OC，
∴點P就是點B，坐標為（3，2），
設直線BG的解析式為y=kx+b（k≠0），得出，解得，
∴y=x-1，
∵點Q是直線BG與拋物線的交點，
∴，
解得或，
又∵點Q在第一象限，
∴點Q的坐標為；
③當PG=PC時，點P在CG的垂直平分線上，
∴點P就是點D，點D也是點Q，坐標為（2，2），
∴綜上所述，點Q的坐標為或或（2，2）。