Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45⁰，P是BC邊上一點(diǎn)，△PAD的面積為，設(shè)AB=x，AD=y。

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若∠APD=45⁰，當(dāng)y=1時(shí)，求PB·PC的值；
（3）若∠APD=90⁰，求y的最小值。

Answer 1

（1）（2）2（3）

解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，

∵AB=x，∠B=45⁰，∴。
又∵AD=y，△PAD的面積為，
∴ ，即。
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為。
（2）∵四邊形ABCD是等腰梯形， AD=y=1，∴∠B=∠C，AB=DC=。
∵∠B＋∠1＋∠4=180⁰，∠1＋∠2＋∠3=180⁰，
∴∠B＋∠4=∠2＋∠3。
∵∠B=45⁰，∠2=∠APD=45⁰，∴∠4=∠3。
∴△BPA∽△CDP。∴。
∴。

（3）如圖，過AD的中點(diǎn)為圓心，AD為半徑畫圓，交BC于點(diǎn)P，則∠APD=90⁰，連接OP，過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，

∵AD∥BC，∴四邊形AEFO是矩形。
∴。
又OP=，設(shè)PF=t，則，即。
設(shè)，則，（負(fù)值舍去）。
∴根據(jù)偶次冪和算術(shù)平方根的非負(fù)性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，最小，最小值為2。
∴的最小值為。
（1）依題設(shè)，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，用x表示出△PAD的AD邊上的高，即可由△PAD的面積
為列式得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式。
（2）證明△BPA∽△CDP即可得到PB·PC的值。
（3）由∠APD=90⁰，根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角的性質(zhì)，過AD的中點(diǎn)為圓心，AD為半徑畫圓，交BC于點(diǎn)P，則∠APD=90⁰，連接OP，過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，設(shè)PF=t，應(yīng)用勾股定理得，化簡(jiǎn)，解方程，根據(jù)偶次冪和算術(shù)平方根的非負(fù)性質(zhì)，求得結(jié)果。