【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB為直徑,∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC分別交AC、AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)若AC=4,CE=2,求的長(zhǎng)度.(結(jié)果保留π)
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)連接OD,由OA=OD知∠OAD=∠ODA,由AD平分∠EAF知∠DAE=∠DAO,據(jù)此可得∠DAE=∠ADO,繼而知OD∥AE,根據(jù)AE⊥EF即可得證;
(2)作OG⊥AE,知AG=CG=AC=2,證四邊形ODEG是矩形得OA=OB=OD=CG+CE=4,再證△ADE∽△ABD得AD2=48,據(jù)此得出BD的長(zhǎng)及∠BAD的度數(shù),利用弧長(zhǎng)公式可得答案.
(1)如圖,連接OD.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∵AD平分∠EAF,∴∠DAE=∠DAO,∴∠DAE=∠ADO,∴OD∥AE.
∵AE⊥EF,∴OD⊥EF,∴EF是⊙O的切線;
(2)如圖,作OG⊥AE于點(diǎn)G,連接BD,則AG=CG=AC=2,∠OGE=∠E=∠ODE=90°,∴四邊形ODEG是矩形,∴OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4,∠DOG=90°.
∵∠DAE=∠BAD,∠AED=∠ADB=90°,∴△ADE∽△ABD,∴=
,即
=
,∴AD2=48.在Rt△ABD中,BD=
=4.在Rt△ABD中,∵AB=2BD,∴∠BAD=30°,∴∠BOD=60°,則
的長(zhǎng)度為
=
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AD=CD=2,點(diǎn)E在邊AD上(不與點(diǎn)A、D重合),∠CEB=45°,EB與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)F,設(shè)DE=x.
(1)用含x的代數(shù)式表示線段CF的長(zhǎng);
(2)如果把△CAE的周長(zhǎng)記作C△CAE,△BAF的周長(zhǎng)記作C△BAF,設(shè)=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出它的定義域;
(3)當(dāng)∠ABE的正切值是時(shí),求AB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,長(zhǎng)方形ABCD中,AB=8,BC=12,點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn),BE=5,點(diǎn)F是射線BA上一動(dòng)點(diǎn),連接EF,將△BEF沿著EF折疊,使B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在長(zhǎng)方形一邊的垂直平分線上,連接BP,則BP的長(zhǎng)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一點(diǎn),EM⊥EN,∠EMA和∠END的平分線交于點(diǎn)F,則∠F的度數(shù)為( )
A. 120° B. 135° C. 150° D. 不能確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知?jiǎng)狱c(diǎn)A在函數(shù)y=(x>0)的圖象上,AB⊥x軸于點(diǎn)B,AC⊥y軸于點(diǎn)C,延長(zhǎng)CA至點(diǎn)D,使AD=AB,延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E,使AE=AC,直線DE分別交x軸,y軸于點(diǎn)P,Q,當(dāng)QE:DP=9:25時(shí),圖中的陰影部分的面積等于___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AD=CD=2,點(diǎn)E在邊AD上(不與點(diǎn)A、D重合),∠CEB=45°,EB與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)F,設(shè)DE=x.
(1)用含x的代數(shù)式表示線段CF的長(zhǎng);
(2)如果把△CAE的周長(zhǎng)記作C△CAE,△BAF的周長(zhǎng)記作C△BAF,設(shè)=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出它的定義域;
(3)當(dāng)∠ABE的正切值是時(shí),求AB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】商場(chǎng)某種商品平均每天可銷(xiāo)售30件,每件盈利50元。為了盡快減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每件商品每降價(jià)1元,商場(chǎng)平均每天可多售出2件。設(shè)每件商品降價(jià)元。據(jù)此規(guī)律,請(qǐng)回答:
(1)商場(chǎng)日銷(xiāo)售量增加_____件,每件商品盈利_____元(用含的代數(shù)式表示)。
(2)在上述條件不變、銷(xiāo)售正常情況下,每件商品降價(jià)多少元時(shí),商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知A(0,4),B(﹣2,2),C(3,0).
(1)作△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1;
(2)求△A1B1C1的面積與A1B1邊上的高;
(3)在x軸上有一點(diǎn)P,使PA+PB最小,求PA+PB的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)E在AC上(且不與點(diǎn)A、C重合).在△ABC的外部作等腰Rt△CED,使∠CED=90°,連接AD,分別以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.
(1)求證:△AEF是等腰直角三角形;
(2)如圖2,將△CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí),連接AE,求證:AF=AE;
(3)如圖3,將△CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)平行四邊形ABFD為菱形,且△CED在△ABC的下方時(shí),若AB=2,CE=2,求線段AE的長(zhǎng).
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