Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+b的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若將拋物線y=ax2+b中在x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方，x軸上方的圖象保持不變，就得到了函數(shù)y=|ax2+b|圖象上的任意一點(diǎn)P，直線l是經(jīng)過(guò)（0，1）且平行與x軸的直線，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為D，猜想并探究：PO與PD的差是否為定值？如果是，請(qǐng)求出此定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． （注：在解題過(guò)程中，如果你覺(jué)得有困難，可以閱讀下面的材料）
附閱讀材料：
① 在平面直角坐標(biāo)系中，若A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則A，B兩點(diǎn)間的距離為|AB|= ，這個(gè)公式叫兩點(diǎn)間距離公式．
例如：已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣1，2），（2，﹣2），則A，B兩點(diǎn)間的距離為|AB|= =5．
② 因式分解：x4+2x2y2+y4=（x2+y2）2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y=ax2﹣1，

將點(diǎn)A（﹣2，0）代入，得：4a﹣1=0，

解得：a= ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣1

（2）解：如圖，

根據(jù)題意，當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí)，y=﹣ x2+1；

當(dāng)x＜﹣2或x＞2時(shí)，y= x2﹣1；

由 可得點(diǎn)M（﹣2 ，1）、點(diǎn)N（2 ，1），

① 當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí)，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，﹣ a2+1），

則PO﹣PD= ﹣[1﹣（﹣ a2+1）]

= a2+1﹣ a2

=1；

②當(dāng)﹣2 ≤x＜﹣2或2 時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a， a2﹣1），

則PO﹣PD= ﹣[1﹣（ a2﹣1）]

= a2+1﹣2+ a2

= a2﹣1；

③當(dāng)x＜﹣2 或x＞2 時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a， a2﹣1），

則PO﹣PD= ﹣[（ a2﹣1）﹣1]

= a2+1﹣ a2+2

=3；

綜上，當(dāng)x＜﹣2 、﹣2≤x≤2或x＞2 時(shí)，PO與PD的差為定值

【解析】（1）待定系數(shù)法求解可得；（2）先根據(jù)題意表示出翻折后拋物線解析式，再求出y=1時(shí)x的值，繼而可分﹣2≤x≤2、﹣2 ≤x＜﹣2或2 、x＜﹣2 或x＞2 三種情況，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式列式表示出PO與PD的差即可得出答案．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)圖象以及系數(shù)a、b、c的關(guān)系和坐標(biāo)與圖形變化-對(duì)稱的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開(kāi)口方向：a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上; a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下b與對(duì)稱軸有關(guān)：對(duì)稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：（0，c）；關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征：兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，x相等，y的符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P’（x，-y）；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征：兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，y相等，x的符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P’（-x，y）．