Question

【題目】如圖，反比例函數(shù)y= 的圖象與二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象在第一象限內(nèi)相交A、B兩點，A、B兩點的縱坐標(biāo)分別為1，3，且AB=2

（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求直線MN的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A、B兩點都在反比例函數(shù)y= 的圖象上，兩點的縱坐標(biāo)分別為1，3，
故可設(shè)A（x1 ， 1）B（x2 ， 3），分別代入反比例函數(shù)的解析式為k=x1 ， k=3x2 ，
解得x1=3x2 ，
由AB=2 ，
可得（x1﹣x2）2+（1﹣3）2=（2 ）2 ， x2=±2，
因為函數(shù)圖象在第一象限，
故x2=2，k=3x2=6，
∴該反比例函數(shù)的解析式為：
y=
（2）由（1）可知，A（6，1），B（2，3），代入二次函數(shù)的解析式，
得 ，
解得 ，
故此二次函數(shù)的解析式為：y=﹣x2+ x﹣8
（3）解：設(shè)M（x，0），N（0，y），過A、B兩點的直線解析式為y=kx+b，
把A、B兩點坐標(biāo)代入得 ，
解得k=﹣ ．
則設(shè)經(jīng)過M、N兩點的直線解析式為y=﹣ x+b，
把M（x，0），N（0，y）代入得y=b，x=2b，
∵M(jìn)N=AB，即x2+y2=（2 ）2 ， 即b2=4，b=±2，
故過M，N兩點的直線解析式為：y=﹣ x+2或y=﹣ x﹣2
【解析】本題考查的是一次函數(shù)，反比例函數(shù)及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，涉及面較廣，但難度適中．
小題1 設(shè)出A、B兩點的坐標(biāo)，根據(jù)兩點都在反比例函數(shù)的圖象上，可找出兩坐標(biāo)之間的關(guān)系，由AB兩點之間的距離可求出K的值，從而求出其解析式；
小題2 根據(jù)小題1中所求A，B兩點的坐標(biāo)，分別代入二次函數(shù)的解析式即可求出b、c的值，從而求出二次函數(shù)的解析式；
小題3 設(shè)出M，N兩點的坐標(biāo)，由A，B兩點的坐標(biāo)可求出過A，B兩點直線的解析式，根據(jù)其解析式可設(shè)出過M，N兩點的直線解析式，找出兩點坐標(biāo)與的關(guān)系，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求出未知數(shù)的值從而求出其解析式．