Question

【題目】十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單的多面體模型，解答下列問題：

(1)根據(jù)上面的多面體模型，完成表格：

多面體	頂點數(shù)(V)	面數(shù)(F)	棱數(shù)(E)
四面體	4	4
正方體	8		12
正八面體	6	8	12
正十二面體	20	12	30

可以發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的關(guān)系式是_______________；

(2)若一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)大8，且有30條棱，則這個多面體的面數(shù)是______；

(3)某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個頂點，每個頂點處有3條棱．設(shè)該多面體外表面三角形的個數(shù)為x，八邊形的個數(shù)為y，求x＋y的值．

Answer 1

【答案】(1)6,6,V＋F－E＝2 ;(2)20;(3)x＋y＝F＝14

【解析】

（1）從表格觀察發(fā)現(xiàn)：頂點數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2；（2）代入（1）中的式子即可得到面數(shù)；（3）得到多面體的棱數(shù)，求得面數(shù)即為x+y的值．

解：（1）四面體的棱數(shù)為6；正八面體的頂點數(shù)為6；關(guān)系式為：V+F-E=2；

（2）由題意得：F-8+F-30=2，解得F=20；

（3）∵有24個頂點，每個頂點處都有3條棱，兩點確定一條直線；

∴共有24×3÷2=36條棱，

那么24+F-36=2，解得F=14，

∴x+y=14．

故答案為：6，6；E=V+F-2；20；14．