Question

在平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，點E為射線BC上的一動點（不與點B、C重合），過點E作EF⊥AB，F(xiàn)E分別交線段AB、射線DC于點F、G．
（1）如圖，當點E在線段BC上時，
①求證：△BEF∽△CEG；
②如設BE=x，△DEF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）點E在射線BC上運動時，是否存在S_△AFD：S_△DEC=3：2？如存在，請求出BE的長；如不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①可通過平行線間的內(nèi)錯角相等，即可得出這兩個三角形中的兩組對應角相等，進而可得出相似的結論．
②根據(jù)①的相似三角形，我們可得出∠G=90°，那么DG就是三角形DEF中EF邊上的高，那么關鍵是求出EF和CG的長．直角三角形BEF中，可根據(jù)BE和∠B的度數(shù)，表示出EF的長，同理可用CE和∠ECG的度數(shù)表示出CG的長．那么就求出了EF和DG的長，也就得出了關于x，y的函數(shù)關系式．
（2）同（1）的方法類似，也是用邊和角的度數(shù)通過三角形函數(shù)求出各三角形的高，然后根據(jù)面積比為3：2得出x的值，然后看是否符合要求即可．

解答：解：（1）
①證明：∵平行四邊形ABCD，
∴AB∥DC，
∴∠B=∠BCG，∠BFE=∠EGC，
∴△BEF∽△CEG．
②在Rt△BEF中，∠B=60°，EF=BE•sinB=

3

2

x
在Rt△CEG中，CG=CE•cos60°=

3-x

2

∴y=

1

2

EF•DG=

1

2

•

3

2

x•(4+

3-x

2

)=-

3

8

x2+

11 3

8

x，
自變量的取值范圍是：0＜x＜3．

（2）
①當點E在線段BC上時，
∵S_△AFD：S_△DEC=3：2，
∴

1

2

•3•(4-

1

2

x)•sin60°：

1

2

•(3-x)•4sin60°=3：2，解得：BE=

4

3

（符合要求）
②當點E在BC延長線（3＜x＜8）上時，∵S_△AFD：S_△DEC=3：2
∴

1

2

•3•(4-

1

2

x)•sin60°：

1

2

•(x-3)•4sin60°=3：2，解得：BE=4（符合要求）

點評：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形以及二次函數(shù)等綜合知識的應用．根據(jù)已知條件求出各三角形的底和高是解題的關鍵．