Question

【題目】如圖，MN是⊙O的直徑，QN是⊙O的切線，連接MQ交⊙O于點H，E為上一點，連接ME，NE，NE交MQ于點F，且ME2=EFEN．

（1）求證：QN=QF；
（2）若點E到弦MH的距離為1，cos∠Q=，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，

∵ME2=EFEN，

∴=．

又∵∠MEF=∠MEN，

∴△MEF∽△MEN，

∴∠1=∠EMN．

∵∠1=∠2，∠3=∠EMN，

∴∠2=∠3，

∴QN=QF；

（2）

解：如圖2，連接OE交MQ于點G，設⊙O的半徑是r．

由（1）知，△MEF∽△MEN，則∠4=∠5．

∴=．

∴OE⊥MQ，

∴EG=1．

∵cos∠Q=，且∠Q+∠GMO=90°，

∴sin∠GMO=，

∴=，即=，

解得，r=2.5，即⊙O的半徑是2.5．

【解析】（1）如圖1，通過相似三角形（△MEF∽△MEN）的對應角相等推知，∠1=∠EMN；又由弦切角定理、對頂角相等證得∠2=∠3；最后根據(jù)等角對等邊證得結(jié)論；
（2）如圖2，連接OE交MQ于點G，設⊙O的半徑是r．根據(jù)（1）中的相似三角形的性質(zhì)證得∠EMF=∠ENM，所以由“圓周角、弧、弦間的關系”推知點E是弧MH的中點，則OE⊥MQ；然后通過解直角△MNE求得cos∠Q=sin∠GMO== ， 則可以求r的值．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關知識點，需要掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．