Question

（2011•峨眉山市二模）如圖，在Rt△ABO中，OB=8，tan∠OBA=

3

4

．若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，且OB=4OC．若拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為P，求四邊形OAPB的面積；
（3）有兩動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OAB按O→A→B的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線按O→B→A的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)M、N兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)M、N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，△OMN的面積為S．
①請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；
②判斷在①的過(guò)程中，t為何值時(shí)，△OMN的面積最大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件可求OA、OC的長(zhǎng)度，從而得A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)．代入拋物線解析式中得方程組求解；
（2）根據(jù)解析式求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．作PD⊥x軸于D點(diǎn)，則四邊形OAPB的面積=梯形ODPB的面積+△APD的面積；
（3）分段表示：①0＜t≤2； ②2＜t＜3； ③3≤t＜4．
根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求面積最大值．

解答：解：（1）∵tan∠OBA=

OA

OB

=

3

4

，
∴OA=OB•tan∠OBA=8×

3

4

=6，則A的坐標(biāo)是（6，0）．
∵OB=4OC，
∴OC=

1

4

OB=2，則C的坐標(biāo)是（-2，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，
則

36a+6b+c=0 c=-8 4a-2b+c=0

解得：

a= 2 3 c=-8 b=- 8 3

，
則拋物線的解析式是：y=

2

3

x²-

8

3

x-8；


（2）拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo) x=-

- 8 3

2× 2 3

=2，
縱坐標(biāo)是：y=

2

3

×2²-

8

3

×2-8=-

32

3

．                                            
則P的坐標(biāo)是：（2，-

32

3

）．                                                                             
S_{四邊形OAPB}=S_梯形ODPB+S_△APD
=（8+

32

3

）×2×

1

2

+

1

2

×（6-2）×

32

3

=40；


（3）當(dāng) 0＜t≤2 時(shí)，S_△OMN=

1

2

×4t×2t=4t²；
當(dāng)t=2時(shí)，S最大，最大值為16；
當(dāng) 2＜t＜3 時(shí)，BN=4t-8，AN=10-（4t-8）=18-4t．
作NQ⊥x軸于Q點(diǎn)，則

NQ

AN

=

OB

AB

=

8

10

=

4

5

，
∴NQ=

4

5

×(18-4t)．
∴S_△OMN=

1

2

×2t×

4

5

×(18-4t)=-

16

5

t²+

72

5

t；
當(dāng)t=

9

4

時(shí)S最大，最大值為

81

5

；
當(dāng) 3≤t＜4 時(shí)，MN=△OAB的周長(zhǎng)-4t-2t=24-6t．
作OQ⊥AB于Q點(diǎn)．
∵S_△OAB=

1

2

OA×OB=

1

2

AB×OQ，
∴OQ=

6×8

10

=

24

5

．
∴S_△OMN=

1

2

×

24

5

×（24-6t）=-

72

5

t+

288

5

；
當(dāng)t=3時(shí)S最大，最大值為

72

5

．
綜上所述，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t=

9

4

時(shí)S_△OMN最大，最大值為

81

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及應(yīng)用分類(lèi)思想求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中圖形的面積計(jì)算，綜合性強(qiáng)，難度大．