Question

已知拋物線y=x²-kx+k-5．
（1）求證：不論k為何實(shí)數(shù)，此拋物線與x軸一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）若此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，求它的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為A，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中右側(cè)交點(diǎn)為B，
若P為x軸上一點(diǎn)，且△PAB為等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)判別式△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求k的取值范圍；
（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸公式：對(duì)稱(chēng)軸直線x=-

b

2a

，代入求出即可；
（3）利用△PAB為等腰三角形，分別利用三邊對(duì)應(yīng)關(guān)系得出即可．

解答：解：（1）證明：∵△=k²-4k+20=（k-2）²+16＞0，
∴不論k為何實(shí)數(shù)，此拋物線與x軸一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．（4分）

（2）∵對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
∴

k

2

=1，
∴k=2，
∴所求函數(shù)的解析式為y=x²-2x-3．（4分）

（3）∵拋物線y=x²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）
∴-

b

2a

=1，

4ac-b2

4a

=-4
∵a=1
∴b=-2，c=-3
∴y=x²-2x-3
當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，即與x軸的交點(diǎn)為（-1，0），（3，0）
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，即與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）．
如圖所示：P為x軸上一點(diǎn)，且△PAB為等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：
（-2，0），（3-2

5

，0），（3+2

5

，0），（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出解析式是解題關(guān)鍵．