Question

聰明好學的小云查閱有關資料發(fā)現(xiàn)：用不過圓錐頂點平行于一條母線的平面截圓錐所得的截面為拋物面，即圖1中曲線CFD為拋物線的一部分，如圖1，圓錐體SAB的母線長為10，側(cè)面積為50π，圓錐的截面CFD交母線SB于F，交底面⊙P于C、D，AB⊥CD于O，OF∥SA且OF⊥CD，OP=4，OB=9．
（1）求底面圓的半徑AP的長及圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)；
（2）當以CD所在直線為x軸，OF所在的直線為y軸建立如圖2所示的直角坐標系，求過C、F、D三點的拋物線的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓錐側(cè)面積的計算方法即可求得底面圓半徑AP的長；由于圓錐側(cè)面展開圖是個扇形，且弧長等腰底面圓的周長，可據(jù)此求出側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）得出的底面圓的半徑即可得到BO、AB的長，由于OF∥AS，易證得△OBF∽△ABS，根據(jù)相似三角形所得到的比例線段即可求得OF的長，由此可得到F點的坐標；連接AC、BC；根據(jù)圓周角定理知∠ACB=90°，在Rt△ACB中，OC⊥AB，根據(jù)射影定理即可求出OC的長，由此可得到C點的坐標；根據(jù)C、F的坐標，即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）∵50π=π•AP•10
∴AP=5；
∵2π•5=

10nπ

180

∴n=180°；
故底面圓的半徑長為5，側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為180°；

（2）由OF∥SA得△OFB∽△ASB，
∴

OF

SA

=

BO

AB

，
∴

OF

10

=

9

10

∴OF=9，
∴F（0，9）；
連接AC，BC，則∠ACB=90°；
Rt△ABC中，OC⊥AB，OA=1，OB=9；
由射影定理可得CO²=1×9，
∴CO=3，
∴C（-3，0）；
設拋物線的解析式為：y=ax²+c，則有：

9a+c=0 c=9

，
解得

a=-1 c=9

；
∴拋物線的解析式為：y=-x²+9．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的性質(zhì)以及圓錐的相關計算，需要牢記的內(nèi)容是圓錐的側(cè)面積計算方法：S=πRL（R為底面圓半徑，L為圓錐的母線長）．