Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（5，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0， ）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）點(diǎn)G為拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)G作GE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時(shí)，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（5，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0， ），

∴設(shè)拋物線的解析式是y=a（x﹣5）（x+1）1），

則 =a×（﹣5）×1，解得a=﹣ ．

則拋物線的解析式是y=﹣ （x﹣5）（x+1）=﹣ x2+2x+

（2）

解：存在．

當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過A作AP⊥AC交拋物線于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)H，如圖．

∵AC⊥AP，OC⊥OA，

∴△OAC∽△OHA，

∴ = ，

∴OA2=OCOH，

∵OA=5，OC= ，

∴OH=10，

∴H（0，﹣10），A（5，0），

∴直線AP的解析式為y=2x﹣10，

聯(lián)立 ，

∴P的坐標(biāo)是（﹣5，﹣20）．

（3）

解：∵DF⊥x軸，DE⊥y軸，

∴四邊形OFDE為矩形，

∴EF=OD，

∴EF長度的最小值為OD長度的最小值，

當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD長度最小，

此時(shí)S△AOC= ACOD= OAOC，

∵A（5，0），C（0， ），

∴AC= ，

∴OD= ，

∵DE⊥y軸，OD⊥AC，

∴△ODE∽△OCD，

∴ = ，

∴OD2=OECO，

∵CO= ，OD= ，

∴OE=2，

∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為2，

∴y=﹣ x2+2x+ =2，

解得x1=2﹣ ，x2=2+ ，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2﹣ ，2）或（2+ ，2）．

【解析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式；（2）以A為直角頂點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)P的縱、橫坐標(biāo)之間的關(guān)系建立等量關(guān)系，就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接OD，易得四邊形OFDE是矩形，則OD=EF，根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD（即EF）最短，然后只需求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，就可得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．