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        1. (2012•中江縣二模)如圖,⊙O的圓心在Rt△ABC的直角邊AC上,⊙O經(jīng)過C、D兩點,與斜邊AB交于點E,連接BO、ED,且BO∥ED,作弦EF⊥AC于G,連接DF.
          (1)求證:AB為⊙O的切線;
          (2)連接CE,求證:AE2=AD•AC;
          (3)若⊙O的半徑為5,sin∠DFE=
          35
          ,求EF的長.
          分析:(1)連接OE,首先證明△BCO≌△BEO,可以得到∠BEO=∠BCO=90°,即OE⊥AB,則AB是⊙O切線;
          (2)證明△AED∽△ACE,利用相似三角形的對應邊的比相等即可證得;
          (3)首先利用勾股定理即可求得CE的長,然后利用三角函數(shù)的定義即可求解.
          解答:解:(1)證明:連接OE.
          ∵ED∥OB,∠2=∠OED,∴∠1=∠3.
          又OB=OB,OE=OC,
          ∴△BCO≌△BEO.(SAS)  
          ∴∠BEO=∠BCO=90°,即OE⊥AB,
          ∴AB是⊙O切線.
          (2)連接CE.
          ∵∠CEO+∠OED=∠OED+∠DEA=90°,∴∠CEO=∠DEA.
          又∠CEO=∠4,∴∠4=∠DEA,
          又∠A=∠A,∴△AED∽△ACE.
          AE
          AC
          =
          AD
          AE
          ,∴AE2=AD•AC.

          (3)∵CD為⊙O的直徑,
          ∴∠CED=90°,CD=2CO=10.
          ∴ED=CD•sin∠4=CD•sin∠DFE=10×
          3
          5
          =6.
          ∴CE=
          CD2-ED2
          =
          102-62
          =8

          在Rt△CEG中,
          EG
          CE
          =sin∠4=
          3
          5
          ,
          ∴EG=
          3
          5
          ×8=
          24
          5

          根據(jù)垂徑定理得:EF=2EG=
          48
          5
          點評:本題考查了切線的證明,以及相似三角形的判定與性質,三角函數(shù),證明切線常用的方法是轉化成證明垂直.
          練習冊系列答案
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