Question

【題目】如圖，拋物線 （m＜0）的頂點為A，交y軸于點C．

（1）求出點A的坐標（用含m的式子表示）；

（2）平移直線y=x經過點A交拋物線C于另一點B，直線AB下方拋物線C上一點P，求點P到直線AB的最大距離

（3）設直線AC交x軸于點D，直線AC關于x軸對稱的直線交拋物線C于E、F兩點．若∠ECF=90°，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）頂點A坐標；（2）P到直線AB的距離d的最大值為 ；（3）m=1.

【解析】（1）利用配方法即可解決問題；

（2）過點P作PQ∥y軸交AB于Q，如圖1中，設P，首先求出PQ的最大值，點P到直線AB的最大距離d=，由此即可即可解決問題；

（3）過點C作MN∥x軸，過點E作EM⊥MN于M，過點F作FN⊥MN于N，如圖2中，設E（x1，y1）、F（x2，y2），由Rt△EMC∽Rt△CNF，得 ，即 ，化簡得：y1y2-m（y1+y2）+m2=-x1x2，再由 ，消去y，整理得：x2+3mx+4m=0，利用根與系數(shù)關系，轉化為關于m的方程即可解決問題．

（1）∵，

∴頂點A坐標 ；

（2）∵直線AB的解析式為，

設P ，

過點P作PQ∥y軸交AB于Q，如圖1中，

∴Q，

∴PQ=

=

=，

當a=1-m 時，PQ有最大值為 ，

∵PQ與直線AB的夾角為45°，

∴P到直線AB的距離d的最大值為 ；

（3）A（﹣m，﹣m2+m）、C（0，m），

A′（﹣m， m2﹣m，）、C′（0，﹣m），

∴直線EF的解析式為y=﹣ mx﹣m，

設E（x1 ， y1）、F（x2 ， y2），

過點C作MN∥x軸，過點E作EM⊥MN于M，過點F作FN⊥MN于N，

∵∠ECF=90°，

∴∠ECM+∠FCN=90°，∠FCN+∠CFN=90°，

∴∠ECM=∠CFN，∵∠EMC=∠FNC=90°，

∴Rt△EMC∽Rt△CNF，∴ ，

即 ，

化簡得：y1y2﹣m（y1+y2）+m2=﹣x1x2，

由 ，消去y，整理得：x2+3mx+4m=0，

∴x1+x2=﹣3m，x1x2=4m，

y1y2=（﹣mx1﹣m）（﹣mx2﹣m）=﹣m3+m2，

y1+y2=m2﹣2m，

∴﹣m3+m2﹣m（m2﹣2m）+m2=﹣4m，

∴m（m-2m-2）=0

解得m=1或1+或0，

∵m＜0，∴m=1 .