Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+x﹣與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為P．

（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使△ABP的面積等于△ABE的面積？若存在，求出符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（1，0）；（2）存在符合條件的點(diǎn)E，其坐標(biāo)為（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）或（﹣1，﹣2）．

【解析】

（1）令y=0可求得相應(yīng)方程的兩根，則可求得A、B的坐標(biāo)；

（2）可先求得P點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得點(diǎn)E到AB的距離，可求得E點(diǎn)縱坐標(biāo)，再代入拋物線解析式可求得E點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）令y=0，則x2+x0，

解得：x=﹣3或x=1，

∴A(﹣3，0)，B(1，0)；

（2）存在．理由如下：

∵yx2+x(x+1)2﹣2，

∴P(﹣1，﹣2)．

∵△ABP的面積等于△ABE的面積，

∴點(diǎn)E到AB的距離等于2，

①當(dāng)點(diǎn)E在x軸下方時(shí)，則E與P重合，此時(shí)E(﹣1，﹣2)；

②當(dāng)點(diǎn)E在x軸上方時(shí)，則可設(shè)E(a，2)，

∴a2+a2，解得：a=﹣1﹣2或a=﹣1+2，

∴E(﹣1﹣2，2)或E(﹣1+2，2)．

綜上所述：存在符合條件的點(diǎn)E，其坐標(biāo)為(﹣1﹣2，2)或(﹣1+2，2)或(﹣1，﹣2)．