Question

【題目】已知拋物線經(jīng)過(guò)A(﹣2，0)，B(0，2)，C(，0)三點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)以1個(gè)單位/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，連接BP，過(guò)點(diǎn)A作直線BP的垂線交y軸于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)BQ=AP時(shí)，求t的值；

(3)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使△MPQ為等邊三角形？若存在，請(qǐng)直接寫t的值及相應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2﹣x+2 ；(2) t=或6時(shí)，BQ=AP；(3) 當(dāng)t=﹣1時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)M(1，1)；當(dāng)t=3+3時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)M(﹣3，﹣3)．

【解析】

（1）利用代入系數(shù)法，將3點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得；

（2）存在2種情況，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方和上方，利用BQ=AP易求得t的值；

（3）先證△AOQ≌△BOP，得到△OPQ為等腰直角三角形，得M點(diǎn)必在PQ的垂直平分線上，即M在y=x上，聯(lián)立點(diǎn)M在拋物線上的方程，解得M有2種情況，最后利用△MPQ為等邊三角形的幾何性質(zhì)分析求解即可．

解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

∵拋物線經(jīng)過(guò)A(﹣2，0)，B(0，2)，C(，0)三點(diǎn)，

∴，

解得，

∴y=x2x+2．

(2)∵AQ⊥PB，BO⊥AP，

∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO，

∵AO=BO=2，

∴△AOQ≌△BOP，

∴OQ=OP=t．

①如圖1，當(dāng)t≤2時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B下方，此時(shí)BQ=2﹣t，AP=2+t．

∵BQ=AP，

∴2﹣t= (2+t)，

∴t=．

②如圖2，當(dāng)t＞2時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B上方，此時(shí)BQ=t﹣2，AP=2+t．

∵BQ=AP，

∴t﹣2= (2+t)，

∴t=6．

綜上所述，t=或6時(shí)，BQ=AP．

(3)當(dāng)t=﹣1時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)M(1，1)；當(dāng)t=3+3時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)M(﹣3，﹣3)．

分析如下：

∵AQ⊥BP，

∴∠QAO+∠BPO=90°，

∵∠QAO+∠AQO=90°，

∴∠AQO=∠BPO．

在△AOQ和△BOP中，

，

∴△AOQ≌△BOP，

∴OP=OQ，

∴△OPQ為等腰直角三角形，

∵△MPQ為等邊三角形，則M點(diǎn)必在PQ的垂直平分線上，

∵直線y=x垂直平分PQ，

∴M在y=x上，設(shè)M(x，y)，

∴，

解得或，

∴M點(diǎn)可能為(1，1)或(﹣3，﹣3)．

①如圖3，當(dāng)M的坐標(biāo)為(1，1)時(shí)，作MD⊥x軸于D，

則有PD=|1﹣t|，MP2=1+|1﹣t|2=t2﹣2t+2，PQ2=2t2，

∵△MPQ為等邊三角形，

∴MP=PQ，

∴t2+2t﹣2=0，

∴t=﹣1+，t=﹣1﹣ (負(fù)值舍去)．

②如圖4，當(dāng)M的坐標(biāo)為(﹣3，﹣3)時(shí)，作ME⊥x軸于E，

則有PE=3+t，ME=3，

∴MP2=32+(3+t)2=t2+6t+18，PQ2=2t2，

∵△MPQ為等邊三角形，

∴MP=PQ，

∴t2﹣6t﹣18=0，

∴t=3+3，t=3﹣3 (負(fù)值舍去)．

綜上所述，當(dāng)t=﹣1+時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)M(1，1)，或當(dāng)t=3+3時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)M(﹣3，﹣3)，使得△MPQ為等邊三角形．