Question

求證：如果a，b是互質的正整數，c是整數，且方程ax+by=c ①，有一組整數解x₀，y₀，則此方程的一切整數解可以表示為，其中t=0，±1，±2，±3，…．

Answer 1

證明：因為x₀，y₀是方程①的整數解，當然滿足ax₀+by₀=c，②
因此a（x₀-bt）+b（y₀+at）=ax₀+by₀=c．
這表明x=x₀-bt，y=y₀+at也是方程①的解．
設x′，y′是方程①的任一整數解，則有
ax′+by′=c．③
③-②得
a（x′-x₀）=b′（y₀-y′）．④
∵a，b是互質的正整數即（a，b）=1，
∴即y′=y₀+at，其中t是整數．將y′=y₀+at代入④，即得x′=x₀-bt．
∴x′，y′可以表示成x=x₀-bt，y=y₀+at的形式，
∴x=x₀-bt，y=y₀+at表示方程①的一切整數解．
分析：把x₀，y₀代入原方程中可得到一個方程，設方程的任一組解可得到第二個方程，聯(lián)立兩個方程求解，再根據a，b是互質的正整數，c是整數，即可得到原方程解的表示形式，即可證明結論．
點評：本題考查了二元一次方程的解和二元一次方程組的解．當沒有條件限制時，二元一次方程的解有無數個．求不定方程的整數解，先將方程做適當變形，確定其中一個未知數的取值范圍，然后列舉出適合條件的所有整數值，再求出另一個未知數的值．