Question

【題目】如圖（1），拋物線y=﹣ x2+x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0）．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）①若點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，連接CD，以O(shè)E為直徑作⊙M，如圖（2），試求當(dāng)CD與⊙M相切時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；
②點(diǎn)F是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)G，使A、C、G、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

由已知有：﹣ （﹣2）2+（﹣2）+c=0，

∴c=3，拋物線的解析式是：y=﹣ x2+x+3

（2）

解：方法一：

①令D（x，y），（x＞0，y＞0），

則E（x，0），M（ ，0），由（1）知C（0，3），

連接MC、MD，

∵DE、CD與⊙O相切，

∴∠OCM=∠MCD，∠CDM=∠EDM，

∴∠CMD=90°，

∴△COM∽△MED，

∴ = ，

∴ = ，

又∵D點(diǎn)在拋物線上，滿足解析式y(tǒng)=﹣ x2+x+3，

∴x= （1± ），

又∵x＞0，

∴x= （1+ ），

∴y= （3+ ），則D點(diǎn)的坐標(biāo)是：（ （1+ ， （3+ ））．

②假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)G（a，b）．

若構(gòu)成的四邊形是ACGF，（下圖1）則G與C關(guān)于直線x=2對稱，

∴G點(diǎn)的坐標(biāo)是：（4，3）；

若構(gòu)成的四邊形是ACFG，（下圖2）則由平行四邊形的性質(zhì)有b=﹣3，

又∵﹣ a2+a+3=﹣3，

∴a=2±2 ，

此時(shí)G點(diǎn)的坐標(biāo)是：（2±2 ，﹣3）

方法二：

①連接CM，DM，

∵D為拋物線：y=﹣ x2+x+3上的一點(diǎn)，

∴設(shè)D（t，﹣ t2+t+3），

∴E（t，0），

∵M(jìn)為OE中點(diǎn)，

∴M（ ，0），

∵C（0，3），CD與⊙M相切，

∴∠MDC=∠EDM，∠OCM=∠MCD，

∵DE⊥x軸，

∴∠OCD+∠CDE=180°

∴∠MCD+∠MDC=90°

∴CD⊥DM，

∴KCM×KDM=﹣1，

∴ =﹣1，∴ ，

∴D（ ， ）．

②∵F是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)F（t，0），

∵A（﹣2，0），C（0，3），

∴ ，∴ ，

同理： 或 ，

∴﹣ （t+2）2+t+2+3=3，∴ ，

∴﹣ （﹣t﹣2）2﹣t﹣2+3=3，∴ ，

∴﹣ （t﹣2）2+t﹣2+3=﹣3，t﹣2=2±2 ，

綜上所述，滿足題意的點(diǎn)G1（2﹣2 ，﹣3），G2（2+2 ，﹣3）

【解析】（1）把A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，即可得到關(guān)于c的方程，求的c的值，則拋物線的解析式即可求解；（2）①連接MC、MD，證明△COM∽△MED，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解；②分四邊形是ACGF和四邊形是ACFG兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．