Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC、BC的長(zhǎng)為方程x2﹣14x+a＝0的兩根，且AC﹣BC＝2，D為AB的中點(diǎn)．

（1）求a的值．

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度，沿A→D→C的路線(xiàn)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度，沿B→C的路線(xiàn)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q每運(yùn)動(dòng)1秒，就停止2秒，然后再運(yùn)動(dòng)1秒…若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

①在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△PCQ的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；并指出自變量t的取值范圍；

②是否存在這樣的t，使得△PCQ為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的t的值．

Answer 1

【答案】（1）48；（2）① S＝t2﹣t+24（0＜t≤1）或S＝﹣t+12（1＜t≤2.5）或S＝﹣t+12（2.5＜t≤3）或S＝t2﹣t+48（3＜t＜4）；②2.5秒，秒

【解析】

（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出AC+BC=14，求出AC和BC，即可求出答案；

（2）根據(jù)勾股定理求出AB，sinB，過(guò)C作CE⊥AB于E，關(guān)鍵三角形的面積公式求出CE，I當(dāng)0＜t≤1時(shí)，

求出即可；II同理可求：當(dāng)1＜t≤2.5時(shí)， ;Ⅲ當(dāng)2.5＜t≤3時(shí)， ;IV當(dāng)3＜t＜4時(shí)

②在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只可能∠PQC=90°，當(dāng)P在AD上時(shí)，若∠PQC=90°，，代入即可求出t；當(dāng)P在DC上時(shí)，若∠PQC=90°，sinA=sin∠CPQ， 得到 或 ，求出t，根據(jù)t的范圍1＜t＜4，判斷即可．

（1）∵AC、BC的長(zhǎng)為方程x2﹣14x+a＝0的兩根，

∴AC+BC＝14，

又∵AC﹣BC＝2，

∴AC＝8，BC＝6，

∴a＝8×6＝48，

答：a的值是48．

（2）∵∠ACB=90°

∴

又∵D為AB的中點(diǎn)

∴

∵

過(guò)C作CE⊥AB于E，

根據(jù)三角形的面積公式得：

6×8=10CE

解得

過(guò)P作PK⊥BQ于K，

∵

∴

∴

（I）當(dāng)0<t≤1時(shí)，

（II）同理可求：當(dāng)1<t≤2．5時(shí)，

（III）當(dāng)2．5<t≤3時(shí)

（IV）當(dāng)3<t<4時(shí)

∵△PHC∽△BCA

∴

∴

∴PH=8-1．6t

∴

答：S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是：

或

或

或

② 解：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只可能∠PQC=90°

當(dāng)P在AD上時(shí)，若∠PQC=90°，

∴

∴t=2.5

當(dāng)P在DC上時(shí)，若∠PQC=90°

sinA=sin∠CPQ

或

或t=2．5

∵1<t<4

∴t=2.5秒或秒時(shí)，△PCQ為直角三角形

答：存在這樣的t，使得△PCQ為直角三角形，符合條件的t的值是2.5秒， 秒