Question

【題目】如圖，在圓O中，弦AC，BD相交于點(diǎn)M，且∠A＝∠B

（1）求證：AC＝BD；

（2）若OA＝4，∠A＝30°，當(dāng)AC⊥BD時(shí)，求弧CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）（1）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，證明△DEB≌△CFA即可得到結(jié)論；

（2）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，CD，OD，OC，先求得∠COA＝120°，再求出∠EOA＝30°，即可得到∠COD＝30°，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算.

證明：（1）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，

∵BE，AF是⊙O的直徑，

∴∠EDB＝∠FCA＝90°．

在△DEB與△CFA中，

∵，

∴△DEB≌△CFA（AAS），

∴AC＝BD；

（2）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，CD，OD，OC，

∵∠A＝30°，OA＝OC，

∴∠COA＝180°﹣30°﹣30°＝120°．

∵∠A＝∠B＝30°，AC⊥BD，

∴∠EOA+∠A＝60°，

∴∠EOA＝30°，

∴∠DOE＝60°，

∴∠COD＝30°，

∴.