Question

【題目】中國(guó)最長(zhǎng)鐵路隧道西康鐵路秦嶺一線隧道全長(zhǎng)十八點(diǎn)四六千米，為目前中國(guó)鐵路隧道長(zhǎng)度之首，被稱為”神州第一長(zhǎng)隧”．為了安全起見在某段隧道兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示，燈A發(fā)出的光束從AC開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AD便立即回轉(zhuǎn)，燈B發(fā)出的光束從BE開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BF便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A旋轉(zhuǎn)的速度是每秒3度，燈B旋轉(zhuǎn)的速度是每秒2度．已知CD∥EF，且∠BAD=∠BAC，設(shè)燈A旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t（單位：秒）．

（1）求∠BAD的度數(shù)；

（2）若燈B發(fā)出的光束先旋轉(zhuǎn)10秒，燈A發(fā)出的光束才開始旋轉(zhuǎn)，在燈B發(fā)出的光束到達(dá)BF之前，若兩燈發(fā)出的光束互相平行，求燈A旋轉(zhuǎn)的時(shí)間t；

（3）如圖2，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A發(fā)出的光束到達(dá)AD之前，若兩燈發(fā)出的光束交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作∠AMN交BE于點(diǎn)N，且∠AMN=135°．請(qǐng)?zhí)骄浚骸?/span>BAM與∠BMN的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）當(dāng)t=20秒或68秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；（3）∠BAM與∠BMN關(guān)系不會(huì)變化

【解析】

（1）因?yàn)猷徰a(bǔ)角互補(bǔ)，則∠BAC+∠BAD=180°，且∠BAD=∠BAC，則∠BAC：∠BAD=3：1，所以∠BAD=180°×=45°.（2）分情況討論，①當(dāng)0＜t＜60時(shí)，由平行線的性質(zhì)可得∠EBE'=∠CAC'，所以3t=2（10+t），求解即可；②當(dāng)60＜t＜80時(shí)，由平行線的性質(zhì)可得∠EBE'+∠C'AD=180°，所以2（10+t）+（3t-180）=180，求解即可.（3）∠BAM與∠BMN關(guān)系不會(huì)變化，利用角的和差關(guān)系分別表示出∠BAM=3t-135°，

∠BMN= t-45°，則∠BMN=∠BAM，所以∠BAM和∠BMN關(guān)系不會(huì)變化．

解：（1）如圖1，∵∠BAC+∠BAD=180°，∠BAD=∠BAC，

∴∠BAC：∠BAD=3：1，

∴∠BAD=180°×=45°，

故答案為：45.

（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，

①當(dāng)0＜t＜60時(shí)，如圖2，

∵CD∥EF，

∴∠EBE'=∠BE'A，

∵BE'∥AC'，

∴∠BE'A=∠CAC'，

∴∠EBE'=∠CAC'，

∴3t=2（10+t），

解得t=20.

②當(dāng)60＜t＜80時(shí)，如圖3，

∵CD∥EF，

∴∠EBE'+∠BE'D=180°，

∵AC'∥BE'，

∴∠BE'D=∠C'AD，

∴∠EBE'+∠C'AD=180°，

∴2（10+t）+（3t-180）=180，

解得t=68，

綜上所述，當(dāng)t=20秒或68秒時(shí)，兩燈的光束互相平行.

（3）∠BAM與∠BMN關(guān)系不會(huì)變化.

．

理由如下：如圖4，設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

∵∠MAD=180°-3t，

∴∠BAM=∠BAD-∠MAD=45°-（180°-3t）=3t-135°，

又∵∠ABM=∠EBA-∠EBM=135°-2t，

∴∠BMA=180°-∠ABM-∠BAM=180°-（135°-2t）-（3t-135°）=180°-t，

又∵∠AMN=135°，

∴∠BMN=∠AMN -∠BMA=135°-（180°-t）=t-45°，

∴∠BAM：∠BMN=3：1，

即∠BMN=∠BAM，

∴∠BAM和∠BMN關(guān)系不會(huì)變化．