Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，AB＝4 ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM＋MN的最小值是（ ）．
A.3
B.4
C.5
D.6

Answer 1

【答案】B
【解析】解答：如圖，在AC上截取AE＝AN，連接BE．
∵∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，
∴∠EAM＝∠NAM，
在△AME與△AMN中， ，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME＝MN．
∴BM＋MN＝BM＋ME≥BE．
∵BM＋MN有最小值．
當(dāng)BE是點(diǎn)B到直線AC的距離時(shí)，BE⊥AC，
又AB＝4 ，∠BAC＝45°，此時(shí)，△ABE為等腰直角三角形，
∴BE＝4，
即BE取最小值為4，
∴BM＋MN的最小值是4．
所以答案是：B．

分析：從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過構(gòu)造全等三角形，利用三角形的三邊的關(guān)系確定線段和的最小值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用三角形的“三線”和軸對稱-最短路線問題的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(diǎn)(交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，是三角形內(nèi)切圓的圓心，稱為內(nèi)心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(diǎn)(交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，是三角形的幾何中心，稱為中心);3、三角形的高線是頂點(diǎn)到對邊的距離；注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內(nèi)；已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．