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        1. 如圖1,已知梯形OABC,拋物線分別過點(diǎn)O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).
          (1)直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo);
          (2)將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移,分別交拋物線于點(diǎn)O1、A1、C1、B1,得到如圖2的梯形O1A1B1C1.設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S,A1、 B1的坐標(biāo)分別為 (x1,y1)、(x2,y2).用含S的代數(shù)式表示x2-x1,并求出當(dāng)S=36時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo);
          (3)在圖1中,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,3),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動(dòng).P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,是否存在某一時(shí)刻t,使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.
            
          (1)對稱軸:直線x=1,解析式:y=x2-x,頂點(diǎn)坐標(biāo):M(1,-).(2) A1(6,3).(3) t=.

          試題分析:(1)已知了O、A、B的坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,進(jìn)而可得到其對稱軸方程和頂點(diǎn)M的坐標(biāo).
          (2)在兩條直線平移的過程中,梯形的上下底發(fā)生了改變,但是梯形的高沒有變化,仍為3,即y2-y1=3,可根據(jù)拋物線的解析式,用x1、x2表示出y1、y2,然后聯(lián)立y2-y1=3,可得到第一個(gè)關(guān)于x1、x2的關(guān)系式①;在兩條直線平移過程中,拋物線的對稱軸沒有變化,可用x1、x2以及拋物線的對稱軸解析式表示出梯形上下底的長,進(jìn)而可得到梯形面積的表達(dá)式,這樣可得到另外一個(gè)x1、x2的關(guān)系式②,聯(lián)立兩個(gè)關(guān)系式,即可得到關(guān)于(x2-x1)與S的關(guān)系式③,將S=36代入②③的關(guān)系式中,即可列方程組求得x1、x2的值,進(jìn)而可求出A點(diǎn)的坐標(biāo).
          (3)要解答此題,首先要弄清幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):
          一、當(dāng)PQ∥AB時(shí),設(shè)直線AB與拋物線對稱軸的交點(diǎn)為E,可得△DPQ∽△DBE,可用t表示出DP、DQ的長,而E點(diǎn)坐標(biāo)易求得,根據(jù)相似三角形所得比例線段,即可得到此時(shí)t的值即t=;
          二、當(dāng)P、Q都停止運(yùn)動(dòng)時(shí),顯然BC>DM,所以此時(shí)t=DM÷1=3;可分兩種情況討論:
          ①當(dāng)0<t<時(shí),設(shè)直線PQ與直線AB的交點(diǎn)為F,與x軸的交點(diǎn)為G;由題意知△FQE∽△FAG,得∠FGA=∠FEQ,由于BC∥x軸,則∠DPQ=∠FGA=∠FEQ,由此可證得△DPQ∽△DEB,DB、DE的長已求得,可用t表示出DP、DQ的長,根據(jù)相似三角形所得比例線段,即可求得此時(shí)t的值;
          ②當(dāng)<t<3 時(shí),方法同①;
          在求得t的值后,還要根據(jù)各自的取值范圍將不合題意的解舍去.
          試題解析::(1)對稱軸:直線x=1,
          解析式:y=x2-x,
          頂點(diǎn)坐標(biāo):M(1,-).
          (2)由題意得y2-y1=3,y2-y1=x22-x2-x12+x1=3,
          得:(x2-x1)[(x2+x1)-]=3①,
          s==3(x1+x2)-6,
          得:x1+x2=+2②,
          把②代入①并整理得:x2-x1=(S>0),
          當(dāng)s=36時(shí),,
          解得:
          把x1=6代入拋物線解析式得y1=3,
          ∴點(diǎn)A1(6,3).
          (3)存在
          易知直線AB的解析式為y=x-,可得直線AB與對稱軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,-),
          ∴BD=5,DE=,DP=5-t,DQ=t,
          當(dāng)PQ∥AB時(shí),,即,
          得t=
          下面分兩種情況討論:設(shè)直線PQ與直線AB、x軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)F、G;
          當(dāng)0<t<時(shí),如圖1-1;
          ∵△FQE∽△FAG,∴∠FGA=∠FEQ,
          ∴∠DPQ=∠DEB;易得△DPQ∽△DEB,

          ,
          得t=
          ∴t=(舍去);
          當(dāng)<t<3時(shí),如圖1-2;
          ∵△FQE∽△FAG,
          ∴∠FAG=∠FQE,
          ∵∠DQP=∠FQE,∠FAG=∠EBD,
          ∴∠DQP=∠DBE,易得△DPQ∽△DEB,

          ,
          ∴t=
          ∴當(dāng)t=秒時(shí),使直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似.
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