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        1. 【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣2的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,點A的坐標為(4,0),且當x=﹣2和x=5時二次函數(shù)的函數(shù)值y相等.

          (1)求實數(shù)a、b的值;
          (2)如圖1,動點E、F同時從A點出發(fā),其中點E以每秒2個單位長度的速度沿AB邊向終點B運動,點F以每秒 個單位長度的速度沿射線AC方向運動.當點E停止運動時,點F隨之停止運動.設運動時間為t秒.連接EF,將△AEF沿EF翻折,使點A落在點D處,得到△DEF.
          ①是否存在某一時刻t,使得△DCF為直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
          ②設△DEF與△ABC重疊部分的面積為S,求S關于t的函數(shù)關系式;

          【答案】
          (1)

          解:由題意得

          解得:a= ,b=﹣


          (2)

          解:①由(1)知二次函數(shù)為y= x2 x﹣2

          ∵A(4,0),∴B(﹣1,0),C(0,﹣2)

          ∴OA=4,OB=1,OC=2

          ∴AB=5,AC=2 ,BC=

          ∴AC2+BC2=25=AB2

          ∴△ABC為直角三角形,且∠ACB=90°

          ∵AE=2t,AF= t,∴ =

          又∵∠EAF=∠CAB,∴△AEF∽△ACB

          ∴∠AEF=∠ACB=90°

          ∴△AEF沿EF翻折后,點A落在x軸上點D處;

          由翻折知,DE=AE,∴AD=2AE=4t,EF= AE=t

          假設△DCF為直角三角形

          當點F在線段AC上時

          (i)若C為直角頂點,則點D與點B重合,如圖2

          ∴AE= AB=

          t= ÷2= ;

          (ii)若D為直角頂點,如圖3

          ∵∠CDF=90°,∴∠ODC+∠EDF=90°

          ∵∠EDF=∠EAF,∴∠OBC+∠EAF=90°

          ∴∠ODC=∠OBC,∴BC=DC

          ∵OC⊥BD,∴OD=OB=1

          ∴AD=3,∴AE=

          ∴t= ;

          當點F在AC延長線上時,∠DFC>90°,△DCF為鈍角三角形

          綜上所述,存在時刻t,使得△DCF為直角三角形,t= 或t=

          ②(i)當0<t≤ 時,重疊部分為△DEF,如圖1、圖2

          ∴S= ×2t×t=t2;

          (ii)當 <t≤2時,設DF與BC相交于點G,則重疊部分為四邊形BEFG,如圖4

          過點G作GH⊥BE于H,設GH=a

          則BH= ,DH=2a,∴DB=

          ∵DB=AD﹣AB=4t﹣5

          =4t﹣5,∴a= (4t﹣5)

          ∴S=SDEF﹣SDBG= ×2t×t﹣ (4t﹣5)× (4t﹣5)=﹣ t2+ t﹣ ;

          (iii)當2<t≤ 時,重疊部分為△BEG,如圖5

          ∵BE=DE﹣DB=2t﹣(4t﹣5)=5﹣2t,GE=2BE=2(5﹣2t)

          ∴S= ×(5﹣2t)×2(5﹣2t)=4t2﹣20t+25.


          【解析】(1)根據(jù)拋物線圖象經(jīng)過點A以及“當x=﹣2和x=5時二次函數(shù)的函數(shù)值y相等”兩個條件,列出方程組求出待定系數(shù)的值.(2)①首先由拋物線解析式能得到點A、B、C三點的坐標,則線段OA、OB、OC的長可求,進一步能得出AB、BC、AC的長;首先用t 表示出線段AD、AE、AF(即DF)的長,則根據(jù)AE、EF、OA、OC的長以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似,那么△AEF也是一個直角三角形,及∠AEF是直角;若△DCF是直角,可分成三種情況討論:1、點C為直角頂點,由于△ABC恰好是直角三角形,且以點C為直角頂點,所以此時點B、D重合,由此得到AD的長,進而求出t的值;2、點D為直角頂點,此時∠CDB與∠CBD恰好是等角的余角,由此可證得OB=OD,再得到AD的長后可求出t的值;3、點F為直角頂點,當點F在線段AC上時,∠DFC是銳角,而點F在射線AC的延長線上時,∠DFC又是鈍角,所以這種情況不符合題意.②此題需要分三種情況討論:1、當點E在點A與線段AB中點之間時,兩個三角形的重疊部分是整個△DEF;2、當點E在線段AB中點與點O之間時,重疊部分是個不規(guī)則四邊形,那么其面積可由大直角三角形與小鈍角三角形的面積差求得;3、當點E在線段OB上時,重疊部分是個小直角三角形.

          練習冊系列答案
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          (2)求證:AE⊥CD;

          (3)連接BM,有以下兩個結論:①BM平分∠CBE;②MB平分∠AMD.其中正確的有   (請寫序號,少選、錯選均不得分).

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          (1)求點C到公路的距離;
          (2)求紅藍雙方最初的距離.(結果保留根號)

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          2)若AB=4,AD=6∠B=60°,求DE的長。

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          A. 65 B. 75 C. 80 D. 85

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