Question

已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于點(diǎn)D，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD所在直線為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若⊙O₁，⊙O₂分別為△ACD，△BCD的內(nèi)切圓，求直線O₁O₂的解析式；
（3）若直線O₁O₂分別交AC，BC于點(diǎn)M，N，判斷CM與CN的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意先證明△ADC∽△ACB，所以AC²=AD•AB，求得AD的長，同理DB，CD，從而求出A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)⊙O₁的半徑為r₁，⊙O₂的半徑為r₂，根據(jù)面積公式可知S_△ADC，從而得到r₁，r₂，由此可求得直線O₁O₂的解析式；
（3）由（1）易得直線AC的解析式，聯(lián)立直線O₁O₂的解析式，求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，由Rt△CME∽R(shí)t△CAD得出比例關(guān)系，解得CM的長，同理得CN的長，再判斷CM與CN的大小關(guān)系．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，CD⊥AB
∴△ADC∽△ACB，∴AC²=AD•AB，
∴AD=

16

5

；
同理DB=

9

5

，CD=

12

5

，
∴A（-

16

5

，0），B（

9

5

，0），C（0，

12

5

）

（2）設(shè)⊙O₁的半徑為r₁，⊙O₂的半徑為r₂，
則有S_△ADC=

1

2

AD•CD=

1

2

（AD+CD+AC）r₁
∴r1=

AD•CD

AD+CD+AC

=

4

5

，同理r2=

3

5

；
∴O1(-

4

5

，

4

5

)，O2(

3

5

，

3

5

)；
由此可求得直線O₁O₂的解析式為：y=-

1

7

x+

24

35

；

（3）CM與CN的大小關(guān)系是相等．
證明如下：法一：由（1）易得直線AC的解析式為：y=

3

4

x+

12

5

，
聯(lián)立直線O₁O₂的解析式，求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM=

24

25

，
過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，
∴CE=CD-DE=

36

25

；由Rt△CME∽R(shí)t△CAD，得

CE

CD

=

CM

CA

，
解得：CM=

12

5

，同理CN=

12

5

，∴CM=CN；
法二：∵⊙O₁，⊙O₂分別為△ACD，△BCD的內(nèi)切圓，
∴∠O₁DE=∠O₂DE=

1

2

×90°=45°，
∴∠O₁DO₂=90°，
∴∠O₁DO₂=∠ACB
∵△ACD∽△CBD，⊙O₁，⊙O₂分別為△ACD，△BCD的內(nèi)切圓，
∴

DO1

DO2

=

AC

BC

∴Rt△O₁O₂D∽R(shí)t△ABC，
∴∠O₂O₁D=∠BAC，
由此可推理：∠CMN=∠O₁DA=45°，
∴∠CNM=45°，∴CM=CN．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．