Question

（2001•山東）已知，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過點P（1，-2）、Q（-1，2），且與x軸交于A、B兩點，（A在B左側(cè)，與y軸交于C點，連接AC、BC．
（1）求a與c的關(guān)系式；
（2）若（O為坐標(biāo)原點），求拋物線的解析式；
（3）是否存在滿足條件tan∠CAB•cot∠CBA=1的拋物線？若存在，請求出拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將P、Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，將b消去即可得出a，c的關(guān)系式．
（2）本題可先將所給的等式進(jìn)行適當(dāng)變形，然后設(shè)出A、B的橫坐標(biāo)，用韋達(dá)定理求出待定系數(shù)的值，即可求出拋物線的解析式．
（3）根據(jù)已知的條件可知：∠CAB=∠CBA，此時OA=OB，那么拋物線關(guān)于y軸對稱，此時對稱軸x=0，據(jù)此可求出拋物線的解析式．
解答：解：（1）將P、Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得：
，
解得b=-2，a=-c．
（2）由①知y=ax²-2x-a，設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0）．
令y=0，ax²-2x-a=0；
x₁+x₂=，x₁x₂=-1，
∴A在x負(fù)半軸上，B在x正半軸上
∴OA=-x₁，OB=x₂
====
=
∴4=，
即a²=3，
∴a=±，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-或y=-x²-2x+．
（3）∵tan∠CAB•cot∠CBA=1，
∴OA=OB，
由于A、B分別在原點兩側(cè)，
因此A、B關(guān)于原點對稱，即拋物線的對稱軸為y軸，
∴x==0，顯然不成立，
因此不存在這樣的拋物線．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識．