Question

【題目】（1）敘述三角形中位線定理，并運用平行四邊形的知識證明；

（2）運用三角形中位線的知識解決如下問題：如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AB，CD的中點，求證：EF＝（AD+BC）

（3）如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝900，AD＝3，BC＝4，CD＝7，E是AB的中點，直接寫出點E到CD的距離．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）2．

【解析】

（1）作出圖形，寫出已知、求證，延長EF到D，使FD=EF，證明△AEF≌△CDF，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=CD，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠D=∠AEF，再求出CE=CD，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行判斷出AB∥CD，然后判斷出四邊形BCDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得DE∥BC，DE=BC；

（2）連接AF并延長，交BC延長線于點M，根據(jù)ASA證明△ADF≌△MCF，判斷EF是△ABM的中位線，根據(jù)三角形中位線定理即可得出結(jié)論；

（3）作DN⊥BC于N，連接DE并延長交CB的延長線于H，連接EC，證明CH=CD，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到∠ECH=∠ECD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．

（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；

已知：△ABC中，點E、F分別是AB、AC的中點，

求證：EF∥BC，EF=BC，

證明：如圖，延長EF到D，使FD=EF，如圖所示：

∵點F是AC的中點，

∴AF=CF，

在△AEF和△CDF中，

，

∴△AEF≌△CDF（SAS），

∴AE=CD，∠D=∠AEF，

∴AB∥CD，

∵點E是AB的中點，

∴AE=BE，

∴BE=CD，

∴四邊形BCDE是平行四邊形，

∴DE∥BC，DE=BC，

∴DE∥BC，EF=BC；

（2）證明：連接AF并延長，交BC延長線于點M，如圖所示：

∵AD∥BC，

∴∠D=∠FCM，

∵F是CD中點，

∴DF=CF，

在△ADF和△MCF中，

，

∴△ADF≌△MCF（ASA）

∴AF=FM，AD=CM，

∴EF是△ABM的中位線，

∴EF∥BC∥AD，EF=BM=（AD+BC）；

（3）解：作DN⊥BC于N，

則四邊形ABND為矩形，

∴AB=DN，BN=AD=3，

∴NC=1，

∴DN==4，

∴EB=AB=DN=2，

連接DE并延長交CB的延長線于H，連接EC，如圖所示：

∵E是AB的中點，

∴BH=AD=3，DE=EH，

∴CH=CB+BH=7，

∴CD=CH，又DE=EH，

∴∠ECH=∠ECD，EB⊥BC，EK⊥CD，

∴EK=EB=2.