Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=45°，點(diǎn)P為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)P不與O、A重合），連接CP，過點(diǎn)P作PD交AB于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△OCP為等腰三角形，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，∠CPD=45°，且

BD

AD

=

1

3

，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）作BE⊥OA，利用等腰梯形的性質(zhì)得出AE=BE，進(jìn)而利用勾股定理求出OE的長(zhǎng)，即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分別利用當(dāng)OP=CP時(shí)，以及當(dāng)OC=OP、OC=CP時(shí)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)已知首先證明△OCP∽△APD，再利用相似三角形的性質(zhì)以及一元二次方程的解法求出即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)B作BE⊥OA，
∵四邊形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=45°，
∴∠EBA=45°，
∴AE=BE，
∴AE²+BE²=AB²，
∴AE=BE=2

2

，
∴OE=7-2

2

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)(7-2

2

，2

2

)；

（2）當(dāng)OP=CP時(shí)，
即∠COP=∠OCP=45°，
∴OP=PC，
OP²+CP²=OC²，
∴OP=2

2

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：(2

2

，0)，
當(dāng)OC=OP，即OC=OP=AB=4，
當(dāng)OC=CP時(shí)，∠COP=∠CPO=45°，
∴∠OCP=90°，
∵CO=4，
∴CP=4，
∴OP=4

2

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P（4，0）或（-4，0）或（4

2

，0）；

（3）∵∠CPD=45°，
∴∠OPC+∠DPA=180°-45°=135°，
∵∠OCP+∠OPC=180°-45°=135°，
∴∠OCP=∠DPA，
∵∠COP=∠DAP=45°，
∴△OCP∽△APD，
∴

AD

OP

=

AP

CO

，
∵

BD

AD

=

1

3

，AB=4，
∴AD=3，

3

OP

=

7-OP

4

，
∴OP²-7OP+12=0，
解得：OP₁=3，OP₂=4，
∴P（3，0）或（4，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定以及等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出△OCP∽△APD以及分類討論思想的應(yīng)用是初中階段考查重點(diǎn)．