Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=60°，AD=3cm，BC=9cm．⊙O₁的圓心O₁從點(diǎn)A開始沿折線A-D-C以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，⊙O₂的圓心O₂從點(diǎn)B開始沿BA邊以

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cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，⊙O₁半徑為2cm，⊙O₂的半徑為4cm，若O₁、O₂分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．
（1）請求出⊙O₂與腰CD相切時(shí)t的值；
（2）在0s＜t≤3s范圍內(nèi)，當(dāng)t為何值時(shí)，⊙O₁與⊙O₂外切？

Answer 1

分析：（1）先設(shè)⊙O₂運(yùn)動(dòng)到E與CD相切，且切點(diǎn)是F；連接EF，并過E作EG∥BC，交CD于G，再過G作GH⊥BC于H，那么就得到直角三角形EFG和矩形GEBH．
要求⊙O₂與CD相切的時(shí)間，可以先求出⊙O₂從B到E所走的路程BE，即GH的長，再除以運(yùn)動(dòng)速度即可．
那么求GH的值就是關(guān)鍵，由∠C=60°，可以知道∠CGH=30°，那么∠FGE=60°．
在Rt△EFG中，可以利用勾股定理求出EG的值，那么CH=BC-BH=BC-EG．在Rt△CGH中，利用60°的角的正切值可求出GH的值，此問就可解了．
（2）因?yàn)閟＜t＜3s，所以O(shè)₁一定在AD上，連接O₁O₂．
利用勾股定理可得到關(guān)于t的一元二次方程，求解即可，根據(jù)要求，可選擇t的值．

解答：解：（1）如圖所示，設(shè)點(diǎn)O₂運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處時(shí)，⊙O₂與腰CD相切．
過點(diǎn)E作EF⊥DC，垂足為F，則EF=4cm．
方法一：作EG∥BC，交DC于G，作GH⊥BC，垂足為H．
由直角三角形GEF中，∠EGF+∠GEF=90°，
又∠EGF+∠CGH=90°，
∴∠GEF=∠CGH=30°，
設(shè)FG=xcm，則EG=2xcm，又EF=4cm，
根據(jù)勾股定理得：x²+4²=（2x）²，解得x=

4 3

3

，
則HB=GE=

8 3

3

cm，又在直角三角形CHG中，∠C=60°，
∴CH=（9-

8 3

3

）cm，
則EB=GH=CHtan60°=(9-

8 3

3

)×

3

cm．
所以，t=（9-

8 3

3

）秒．
方法二：延長EA、FD交于點(diǎn)P．通過相似三角形，也可求出EB長．
方法三：連接ED、EC，根據(jù)面積關(guān)系，列出含有t的方程，直接求t．

（2）由于0s＜t≤3s，所以，點(diǎn)O₁在邊AD上．
如圖連接O₁O₂，則O₁O₂=6cm．
由勾股定理得，
t²+（6

3

-

3

t）²=6²，
即t²-9t+18=0．
解得：t₁=3，t₂=6（不合題意，舍去）．
所以，經(jīng)過3秒，⊙O₁與⊙O₂外切．

點(diǎn)評：本題利用了切線的性質(zhì)，勾股定理，正切值的計(jì)算，以及公式s=vt，矩形的判定和性質(zhì)，兩圓外切的性質(zhì)．
注意用含t的代數(shù)式來表示線段的長．