Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù) y=nx+2(n≠0)的圖像與反比例函數(shù) y (m≠0)在第一象限內(nèi)的圖像交于點 A，與 x 軸交于點 B，線段 OA=5，C 為 x 軸正半軸上一點，且 sin AOC .

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

(2)求△ AOB 的面積；

(3)請直接寫出不等式 nx 2 的解.

Answer 1

【答案】（1）y=x+2（2）6（3）x＜﹣6或0＜x＜3

【解析】

（1）過A點作AD⊥x軸于點D，根據(jù)已知的∠AOC的正弦值以及OA的長，利用三角形函數(shù)的定義求出AD的長，再利用勾股定理求出OD的長，即可得到點A的坐標，把點A的坐標分別代入到反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式中即可確定出兩函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)x軸上點的特征，令一次函數(shù)的y=0，求出x的值，確定出點B的坐標，得到線段OB的長，利用三角形的面積公式即可求出三角形AOB的面積；

（3）根據(jù)圖示可知，不等式nx≤﹣2的解集．

（1）過A點作AD⊥x軸于點D．

∵sin∠AOC==，OA=5，∴AD=4．在Rt△AOD中，由勾股定理得：DO=3．

∵點A在第一象限，∴點A的坐標為（3，4），將A的坐標為（3，4）代入y=，得m=3×4=12，∴該反比例函數(shù)的解析式為y=，將A的坐標為（3，4）代入y=nx+2得：n=，∴一次函數(shù)的解析式是y=x+2；

（2）在y=x+2中，令y=0，則x=﹣3，∴點B的坐標是（﹣3，0），∴OB=3，又AD=4，∴S△AOB=OBAD=×3×4=6，∴△AOB的面積為6；

（3）依題意，得：，解得：或，所以A（3，4），B（﹣6，﹣2），根據(jù)圖示知，當x＜﹣6或0＜x＜3時，nx≤﹣2．

故nx≤﹣2的解集是：x＜﹣6或0＜x＜3．