Question

已如：如圖，在直角坐標(biāo)系中，以y軸上的點C為圓心，2為半徑的圓與x軸相切于原點O，AB為⊙C的直徑，PA切⊙O于點A，交x軸的負(fù)半軸于點P，連接PC交OA于點D．
（1）求證：PC⊥OA；
（2）若點P在x軸的負(fù)半軸上運動，原題的其他條件不變，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，0），四邊形
POCA的面積為S，求S與點P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的情況下，分析并判斷是否存在這樣的一點P，使S_{四邊形POCA}=S_△AOB，若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)（不寫過程）；若不存在，簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題可根據(jù)切線長定理得出PC平分∠ACO，然后根據(jù)垂徑定理即可得出PC⊥AO．
（2）由于△PAC≌△POC，因此兩三角形的面積相等，四邊形POCA的面積實際是2倍的△POC的面積．由此可求出S與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）根據(jù)圓的對稱性可知A、B兩點到y(tǒng)軸的距離應(yīng)該相等，因此△BOC的面積和△ACO的面積相等，（2）中得出△POC與△PAC的面積相等，因此S_{四邊形POCA}=S_△AOB能得出的條件是△AOC和△POC的面積相等，由于兩三角形同底，因此高相等即PA∥OC，因此四邊形PACO是個矩形（實際是個正方形），由此可得出AC=OP=r，由此可求出P點的坐標(biāo)．

解答：（1）證明：∵⊙C與x軸相切于原點O，點P在x軸上，
∴PO與⊙C相切于點O，
又∵PA切⊙C于點A，
∴PO=PA，PC平分∠APO，
∴PC⊥OA．

（2）解：S_{四邊形POCA}=2S_△POC=2×

1

2

（-x）×2=-2x，
即S=-2x（x＜0）．

 （3）解：存在這樣的一點P，其坐標(biāo)為（-2，0），
∵S_△AOB=2S_△AOC，S_{四邊形POCA}=2S_△POC，
∴S_△AOC=S_△POC，
∴PA∥OC；
又∵∠POC=90°，
∴∠APO=90°，
∵∠PAC=∠POC=90°，
∴四邊形POCA是矩形，
∴OP=AC=2，
∴P（-2，0）．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、切線長定理、等邊三角形的性質(zhì)、矩形的判定以及一次函數(shù)的應(yīng)用等知識點，綜合性較強(qiáng)．