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        1. 如圖,已知點O為坐標原點,∠AOB=30°,∠B=90°,且點A的坐標為(2,0).
          (1)求點B的坐標;
          (2)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A,B,O三點,求此二次函數(shù)的解析式;
          (3)在(2)中的二次函數(shù)圖象的OB段(不包括O,B點)上,是否存在一點C,使得四邊形ABCO的面積最大?若存在,求出點C的坐標及四邊形ABCO的最大面積;若不存在,請說明理由.
          分析:(1)在Rt△OAB中,由∠AOB=30°可以得到OB=
          3
          ,過點B作BD垂直于x軸,垂足為D,利用已知條件可以求出OD,BD,也就求出B的坐標;
          (2)根據(jù)待定系數(shù)法把A,B,O三點坐標代入函數(shù)解析式中就可以求出解析式;
          (3)設存在點C(x,-
          2
          3
          3
          x2+
          4
          3
          3
          x),使四邊形ABCO面積最大,而△OAB面積為定值,只要△OBC面積最大,四邊形ABCO面積就最大.過點C作x軸的垂線CE,垂足為E,交OB于點F,則S△OBC=S△OCF+S△BCF=
          1
          2
          |CF|•|OE|+
          1
          2
          |CF|•|ED|=
          1
          2
          |CF|•|OD|=
          3
          4
          |CF|,而|CF|=yC-yF=-
          2
          3
          3
          x2+
          4
          3
          3
          x-
          3
          3
          x=-
          2
          3
          3
          x2+
          3
          x,這樣可以得到S△OBC=-
          3
          2
          x2+
          3
          3
          4
          x,利用二次函數(shù)就可以求出△OBC面積最大值,也可以求出C的坐標.
          解答:解:(1)在Rt△OAB中,
          ∵∠AOB=30°,
          ∴OB=
          3
          ,
          過點B作BD垂直于x軸,垂足為D,
          則OD=
          3
          cos30°=
          3
          2
          ,BD=
          1
          2
          BO=
          3
          2

          ∴點B的坐標為(
          3
          2
          3
          2
          );

          (2)將A(2,0)、B(
          3
          2
          ,
          3
          2
          )、O(0,0)三點的坐標代入y=ax2+bx+c,
          得:
          4a+2b+c=0
          9
          4
          a+
          3
          2
          b+c=
          3
          2
          c=0

          解方程組,
          a=-
          2
          3
          3
          b=
          4
          3
          3
          c=0

          ∴所求二次函數(shù)解析式是y=-
          2
          3
          3
          x2+
          4
          3
          3
          x;

          (3)設存在點C(x,-
          2
          3
          3
          x2+
          4
          3
          3
          x)(其中0<x<
          3
          2
          ),使四邊形ABCO面積最大,而△OAB面積為定值,
          只要△OBC面積最大,四邊形ABCO面積就最大.
          過點C作x軸的垂線CE,垂足為E,交OB于點F,
          則S△OBC=S△OCF+S△BCF=
          1
          2
          |CF|•|OE|+
          1
          2
          |CF|•|ED|=
          1
          2
          |CF|•|OD|=
          3
          4
          |CF|,
          而|CF|=yC-yF=-
          2
          3
          3
          x2+
          4
          3
          3
          x-
          3
          3
          x=-
          2
          3
          3
          x2+
          3
          x,
          ∴S△OBC=-
          3
          2
          x2+
          3
          3
          4
          x,
          ∴當x=
          3
          4
          時,△OBC面積最大,最大面積為
          9
          3
          32

          此時C點坐標為(
          3
          4
          ,
          5
          3
          8
          ),
          故四邊形ABCO的最大面積為:
          25
          3
          32
          點評:本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最大值等知識,根據(jù)題意畫出圖形,利用數(shù)形結合求解是解答此題的關鍵.
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          3
          5
          x
          (0≤x≤5),則以下結論不正確的是(  )
          A、OB=3B、OA=5
          C、AF=2D、BF=5

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          3
          5
          x
          (0≤x≤5),則此二次函數(shù)的解析式為
          y2=-
          16
          25
          x2+16
          y2=-
          16
          25
          x2+16

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          如圖,已知點O為坐標原點,∠AOB=30°,∠B=90°,且點A的坐標為(2,0).
          (1)求點B的坐標;
          (2)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A,B,O三點,求此二次函數(shù)的解析式;
          (3)在(2)中的二次函數(shù)圖象的OB段(不包括O,B點)上,是否存在一點C,使得四邊形ABCO的面積最大?若存在,求出點C的坐標及四邊形ABCO的最大面積;若不存在,請說明理由.

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          (2)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A,B,O三點,求此二次函數(shù)的解析式;
          (3)在(2)中的二次函數(shù)圖象的OB段(不包括O,B點)上,是否存在一點C,使得四邊形ABCO的面積最大?若存在,求出點C的坐標及四邊形ABCO的最大面積;若不存在,請說明理由.

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