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        1. 【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點,與y軸交于點C,其頂點為點D,點E的坐標為(0,﹣1),該拋物線與BE交于另一點F,連接BC.

          (1)求該拋物線的解析式,并用配方法把解析式化為y=a(x﹣h)2+k的形式;

          (2)若點H(1,y)在BC上,連接FH,求△FHB的面積;

          (3)一動點M從點D出發(fā),以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動,連接OM,BM,設(shè)運動時間為t秒(t>0),在點M的運動過程中,當(dāng)t為何值時,∠OMB=90°?

          (4)在x軸上方的拋物線上,是否存在點P,使得∠PBF被BA平分?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

          【答案】(1)y=﹣(x﹣2)2+;(2)(3);(4)在x軸上方的拋物線上,存在點P,使得∠PBF被BA平分,P(,).

          【解析】

          試題分析:(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;(2)先求出GH,點F的坐標,用三角形的面積公式計算即可;(3)設(shè)出點M,用勾股定理求出點M的坐標,從而求出MD,最后求出時間t;(4)由∠PBF被BA平分,確定出過點B的直線BN的解析式,求出此直線和拋物線的交點即可.

          試題解析:(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點,

          ∴拋物線解析式為y=﹣x2+x﹣2=﹣(x﹣2)2+;

          (2)如圖1,

          過點A作AH∥y軸交BC于H,BE于G,

          由(1)有,C(0,﹣2),

          ∵B(0,3),

          ∴直線BC解析式為y=x﹣2,

          ∵H(1,y)在直線BC上,

          ∴y=﹣,

          ∴H(1,﹣),

          ∵B(3,0),E(0,﹣1),

          ∴直線BE解析式為y=﹣x﹣1,

          ∴G(1,﹣),

          ∴GH=,

          ∵直線BE:y=﹣x﹣1與拋物線y=﹣x2+x﹣2相較于F,B,

          ∴F(,﹣),

          ∴S△FHB=GH×|xG﹣xF|+GH×|xB﹣xG|

          =GH×|xB﹣xF|

          =××(3﹣

          =

          (3)如圖2,

          由(1)有y=﹣x2+x﹣2,

          ∵D為拋物線的頂點,

          ∴D(2,),

          ∵一動點M從點D出發(fā),以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動,

          ∴設(shè)M(2,m),(m>),

          ∴OM2=m2+4,BM2=m2+1,AB2=9,

          ∵∠OMB=90°,

          ∴OM2+BM2=AB2,

          ∴m2+4+m2+1=9,

          ∴m=或m=﹣(舍),

          ∴M(0,),

          ∴MD=,

          ∵一動點M從點D出發(fā),以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動,

          ∴t=

          (4)存在點P,使∠PBF被BA平分,

          如圖3,

          ∴∠PBO=∠EBO,

          ∵E(0,﹣1),

          ∴在y軸上取一點N(0,1),

          ∵B(3,0),

          ∴直線BN的解析式為y=﹣x+1①,

          ∵點P在拋物線y=﹣x2+x﹣2②上,

          聯(lián)立①②得,(舍),

          ∴P(,),

          即:在x軸上方的拋物線上,存在點P,使得∠PBF被BA平分,P().

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          若該客戶按方案購買,需付款__ ____元(用含的式子表示);

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