Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，且tan∠BAE=，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，連接AE、BF將△ABE著點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在BF上的B1處位置處，點(diǎn)A經(jīng)過旋轉(zhuǎn)落在A1點(diǎn)位置處，連接AA1交BF于點(diǎn)N．

（1）求證：∠BFC=∠A1 B1F；

（2）說明點(diǎn)N是AA1的中點(diǎn)；

（3）求AN的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析； （2）詳見解析；（3）．

【解析】試題分析：（1）已知四邊形ABCD是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB∥CD，即可得∠ABF=∠CFB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得EB=EB1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠EBB1=∠EB1B，再由∠ABC=∠EB1A1=90°，即可得∠ABF+∠EBB′=90°，∠BB1E+∠A1B1F=90°，所以∠A1B1F=∠ABF=∠BFC；（2）作EP⊥BF，A1Q⊥BF，取BC的中點(diǎn)M，連接AB1，B1M，可得點(diǎn)P是BB1的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線定理可得EP∥MB1，即可得MB1⊥BB1；易證△BPE∽△BCF，即可求得BP=，EP=，從而求得BB1= ，再證明A，B1，M三點(diǎn)共線，即可得AB1=，再證明△AB1N≌△A1QN，即可得AN=A1N，從而證得N是AA1的中點(diǎn)；（3）由△AB1N≌△A1QN，可得B1N=B1Q=，根據(jù)勾股定理即可求得AN=．

試題解析：

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠ABF=∠CFB，

∵EB=EB1，

∴∠EBB1=∠EB1B，

∵∠ABC=∠EB1A1=90°，

∴∠ABF+∠EBB′=90°，∠BB1E+∠A1B1F=90°，

∴∠A1B1F=∠ABF=∠BFC．

（2）作EP⊥BF，A1Q⊥BF，取BC的中點(diǎn)M，連接AB1，B1M，

∴點(diǎn)P是BB1的中點(diǎn)，

∵E是BM中點(diǎn)，

∴EP∥MB1，

∴MB1⊥BB1，

由旋轉(zhuǎn)得，△BPE∽△BCF，

∴BP=，EP=，

∵PB1=PB=，

∴BB1=，

∵sin∠FBC===，

∴∠AB1B=90°，

∴A，B1，M三點(diǎn)共線，

∴AB1=，

∵∠B1A1Q=∠BB1E=∠FBC，

∴△B1QA1∽△FCB，

∴B1Q=，A1Q==AB1，

∴△AB1N≌△A1QN，

∴AN=A1N，

∴N是AA1的中點(diǎn)．

（3）∵△AB1N≌△A1QN，

∴B1N=B1Q=，

根據(jù)勾股定理得，AN==．