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        1. (2013•廈門(mén))如圖所示,已知四邊形OABC是菱形,∠O=60°,點(diǎn)M是邊OA的中點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心,r為半徑作⊙O分別交OA,OC于點(diǎn)D,E,連接BM.若BM=
          7
          ,
          DE
          的長(zhǎng)是
          3
          π
          3
          .求證:直線(xiàn)BC與⊙O相切.
          分析:過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于F,過(guò)點(diǎn)B作BG⊥OA于G,則四邊形BGOF為矩形,OF=BG.設(shè)菱形OABC的邊長(zhǎng)為2a,先在Rt△BMG中,利用勾股定理得出BG2+GM2=BM2,即(
          3
          a)2+(2a)2=(
          7
          2,求得a=1,得到OF=
          3
          ,再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出r=
          3
          ,則圓心O到直線(xiàn)BC的距離等于圓的半徑r,從而判定直線(xiàn)BC與⊙O相切.
          解答:證明:如圖,過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于F,過(guò)點(diǎn)B作BG⊥OA于G,則四邊形BGOF為矩形,OF=BG.
          設(shè)菱形OABC的邊長(zhǎng)為2a,則AM=
          1
          2
          OA=a.
          ∵菱形OABC中,AB∥OC,
          ∴∠BAG=∠COA=60°,∠ABG=90°-60°=30°,
          ∴AG=
          1
          2
          AB=a,BG=
          3
          AG=
          3
          a.
          在Rt△BMG中,∵∠BGM=90°,BG=
          3
          a,GM=a+a=2a,BM=
          7
          ,
          ∴BG2+GM2=BM2,即(
          3
          a)2+(2a)2=(
          7
          2,
          解得a=1,
          ∴OF=BG=
          3

          DE
          的長(zhǎng)=
          60πr
          180
          =
          3
          π
          3

          ∴r=
          3
          ,
          ∴OF=r=
          3
          ,即圓心O到直線(xiàn)BC的距離等于圓的半徑r,
          ∴直線(xiàn)BC與⊙O相切.
          點(diǎn)評(píng):本題考查了菱形的性質(zhì),勾股定理,弧長(zhǎng)的計(jì)算公式,切線(xiàn)的判定,綜合性較強(qiáng),難度適中,利用菱形的性質(zhì)及勾股定理求出a的值是解題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (2013•廈門(mén))如圖所示,在⊙O中,
          AB
          =
          AC
          ,∠A=30°,則∠B=( 。

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          6
          6

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          (2013•廈門(mén))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O是原點(diǎn),點(diǎn)B(0,
          3
          ),點(diǎn)A在第一象限且AB⊥BO,點(diǎn)E是線(xiàn)段AO的中點(diǎn),點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上.若點(diǎn)B和點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)OM對(duì)稱(chēng),則點(diǎn)M的坐標(biāo)是(
          1
          1
          ,
          3
          3
          ).

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          (2013•廈門(mén))如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)E.若AE=4,CE=8,DE=3,梯形ABCD的高是
          365
          ,面積是54.求證:AC⊥BD.

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