Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為第一象限內(nèi)的雙曲線（k₁＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A
的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)A作平行于 y軸的直線，與x軸交于點(diǎn)B，與雙曲線（k₂＜0）交于點(diǎn)C．x軸上一點(diǎn)D（m，0）位于直線AC右側(cè)，AD的中點(diǎn)為E．
（1）當(dāng)m=4時，求△ACD的面積（用含k₁，k₂的代數(shù)式表示）；
（2）若點(diǎn)E恰好在雙曲線（k₁＞0）上，求m的值；
（3）設(shè)線段EB的延長線與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（2，0）時，若△BDF的面積為1，且CF∥AD，求k₁的值，并直接寫出線段CF的長．

Answer 1

解：（1）由題意得A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，k₁），C（1，k₂）．（如圖1）
∵k₁＞0，k₂＜0，
∴點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在第四象限，AC=k₁-k₂．
當(dāng)m=4時，．

（2）作EG⊥x軸于點(diǎn)G．（如圖2）
∵EG∥AB，AD的中點(diǎn)為E，
∴△DEG∽△DAB，，G為BD的中點(diǎn)．
∵A，B，D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，k₁），B（1，0），D（m，0），
∴，，．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．
∵點(diǎn)E恰好在雙曲線上，
∴．①
∵k₁＞0，
∴方程①可化為，
解得m=3．

（3）當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（2，0）時，由（2）可知點(diǎn)E的坐標(biāo)為．（如圖3）
∵S_△BDF=1，
∴．
∴OF=2．
設(shè)直線BE的解析式為y=ax+b（a≠0）．
∵點(diǎn)B，點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為B（1，0），，
∴
解得 a=k₁，b=-k₁．
∴直線BE的解析式為y=k₁x-k₁．
∵線段EB的延長線與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)F，k₁＞0，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（0，-k₁），OF=k₁．
∴k₁=2．
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∴設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，
將A（1，2），D（2，0）分別代入解析式得，
，
解得，
故函數(shù)解析式為y=-2x+4，
又∵AD∥FC，
設(shè)FC的解析式為y=-2x+c，
將F（0，-2）代入解析式得，c=-2，
故函數(shù)解析式為y=-2x-2．
當(dāng)x=1時，k₂=-4．
C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），
故線段CF==．
分析：（1）由于A、C的橫坐標(biāo)相同，則AC的長即為A、C的縱坐標(biāo)之差，根據(jù)m=4，可求出BD的長，進(jìn)而的得出三角形的面積；
（2）作EG⊥x軸于點(diǎn)G，判斷出△DEG∽△DAB，再根據(jù)A，B，D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，k₁），B（1，0），D（m，0），以及G為BD的中點(diǎn)，求出E的表達(dá)式，代入反比例函數(shù)解析式，即可求出m的值；
（3）根據(jù)S_△BDF=1，求出OF=2，將點(diǎn)B，點(diǎn)E的坐標(biāo)分別代入解析式，求出直線BE的解析式為y=k₁x-k₁．再求出AD的解析式，根據(jù)平行直線的性質(zhì)求出FC的解析式，得到C點(diǎn)作標(biāo)，從而求出F從的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的相關(guān)問題，涉及圖形與坐標(biāo)的關(guān)系、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點(diǎn)間的距離公式等知識，綜合性很強(qiáng)，要認(rèn)真對待．