Question

（2013•安慶二模）安徽省第十三屆運動會將于2014年在安慶市舉行，2013年三月份安慶市某工藝廠設(shè)計了一款籃球工藝品投放市場進行試銷．根據(jù)市場調(diào)查，這種工藝品一段時間內(nèi)每周的銷售量y（個）與銷售單價x（元/個）之間的對應(yīng)關(guān)系如下圖所示（x為大于6的整數(shù)）
（1）試判斷y與x的函數(shù)關(guān)系，并直接寫出函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知籃球工藝品的進價為10元/個，按照上述銷售規(guī)律，當銷售單價x定為多少時，試銷該工藝品每周獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少？
（3）安慶市某體育超市每周購進該種籃球工藝品的進貨成本不超過1000元，要想每周獲得的利潤最大，試確定該工藝品的銷售單價（規(guī)定取整數(shù)），并求出此時每周獲得的最大利潤．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一個籃球每增加2元減少的個數(shù)相同可知y與x是一次函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)利潤=單個籃球的利潤×個數(shù)列式整理得到w與x的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的最值問題解答即可；
（3）根據(jù)進貨成本不超過1000元列出不等式求出x的取值范圍，再利用二次函數(shù)的增減性求出獲得利潤的最大值即可．

解答：解：（1）y是x的一次函數(shù)．
設(shè)y=kx+b，
∵x=10時，y=300，x=12時，y=240，
∴

10k+b=300 12k+b=240

，
解得

k=-30 b=600

，
所以，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-30x+600；

（2）w=（x-10）（-30x+600）
=-30x²+900x-6000
=-30（x²-30x+225）+6750-6000
=-30（x-15）²+750，
∵a=-30＜0，
∴拋物線開口向下，其頂點（15，750）為拋物線最高點，
即當x=15時，w有最大值，最大銷售利潤為750元；

（3）由題意得10（-30x+600）≤1000，
解得x≥

50

3

，
由（2）知圖象對稱軸為x=15，
∵a=-30＜0，
∴拋物線開口向下，當x≥

50

3

時，w隨x增大而減小，
又∵x為整數(shù)，
∴當x=17時，w_最大=（17-10）（-30×17+600）=630元．
即以17元/個的價格銷售這批籃球可獲得最大利潤630元．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用．最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x=-

b

2a

時取得．