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        1. 【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AM、BN分別與⊙O相切于點A、B,CD交AM、BN于點D、C,DO平分∠ADC.

          (1)求證:CD是⊙O的切線;
          (2)設AD=4,AB=x (x > 0),BC=y(tǒng) (y > 0). 求y關于x的函數(shù)解析式.

          【答案】
          (1)證明:過O做OE⊥CD于點E,

          則∠OED=90°
          ∵⊙O與AM相切于點A
          ∴∠OAD=90°
          ∵OD平分∠ADE
          ∴∠ADO=∠EDO
          ∵OD=OD
          ∴△OAD≌△OED
          ∴OE=OA
          ∵OA是⊙O的半徑
          ∴OE是⊙O的半徑
          ∴CD是⊙O的切線
          (2)解:過點D做DF⊥BC于點F,則DF=AB=x

          ∵AD=4,BC=y(tǒng)
          ∴CF=BC-AD=y(tǒng)-4
          由切線長定理可得:
          ∴DE=DA,CE=CB
          ∴CD=CE+ED
          =BC+AD
          =4+y
          在Rt△DFC中,
          ∵CD2=DF2+FC2
          ∴(y+4)=x 2+(y-4)2
          整理得:y= x2
          則y關于x的函數(shù)關系式為:y= x2

          解法二:連接OC,

          ∵CD、CB都是⊙O的切線
          ∴CE=CB=y(tǒng)
          OC平分∠BCD
          即:∠OCD= ∠BCD
          同理:DE=AD=4
          ∠CDO= ∠CDA
          ∵AM、BN分別與⊙O相切
          且AB為⊙O的直徑
          ∴AM//BN
          ∴∠BCD+∠CDA=180°
          ∴∠OCD+∠CDO=90°
          ∵∠CDO+∠OCD+∠COD=180°
          ∴∠COD=90°
          ∵在Rt△DOC中,
          OD2=OA2+AD2
          即OD2=( )2+42
          同理可得:
          OC2=( )2+y2
          ∵CD=CE+ED=y(tǒng)+4
          ∴在Rt△OCD中
          CD2=OC2+OD2
          即(y+4)2=( )2+42+( )2+y2
          整理得:y= x2
          則y關于x的函數(shù)關系式為:y= x2
          【解析】(1)過O做OE⊥CD于點E,則∠OED=90° ,根據切線的性質,圓的切線垂直于經過切點的半徑得出∠OAD=90° ,根據角平分線的定義得出∠ADO=∠EDO ,從而根據AAS判斷出△OAD≌△OED,根據全等三角形的對應邊相等得出OE=OA ,根據切線的判定定理得出CD是⊙O的切線 ;
          (2)解法一 :過點D做DF⊥BC于點F,則DF=AB=x ,根據矩形的性質及線段的和差得出CF=BC-AD=y(tǒng)-4 ,由切線長定理可得:DE=DA,CE=CB ,根據線段的和差得出CD=CE+ED=BC+AD=4+y ,在Rt△DFC中,由勾股定理得出(y+4)=x 2+(y-4)2 ,從而得出y與x之間的函數(shù)關系式 ;解法二:連接OC,根據切線長定理得出CE=CB=y(tǒng) ,OC平分∠BCD ,即:∠OCD= ∠BCD,同理:DE=AD=4 ,∠CDO= ∠CDA ,又AM、BN分別與⊙O相切且AB為⊙O的直徑 ,故AM//BN,根據二直線平行同旁內角互補得出∠BCD+∠CDA=180° ,進而得出∠OCD+∠CDO=90° ,根據平角的定義得出∠CDO+∠OCD+∠COD=180° ,從而得出COD=90°,在Rt△DOA中,根據勾股定理得出OD2=( )2+42 , 同理可得:OC2=( x 2 )2+y2 ,由于CD=CE+ED=y(tǒng)+4 ,在Rt△OCD中 ,CD2=OC2+OD2 ,即(y+4)2=( x 2 )2+42+( x 2 )2+y2 ,從而得出y與x之間的函數(shù)關系。
          【考點精析】本題主要考查了切線長定理和垂徑定理的推論的相關知識點,需要掌握從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角;推論1:A、平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧B、弦的垂直平分線經過圓心,并且平分弦所對的兩條弧C、平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條;推論2 :圓的兩條平行弦所夾的弧相等才能正確解答此題.

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