Question

【題目】設x1，x2是關于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的兩個實數(shù)根，當a為何值時，x12＋x22有最小值？最小值是多少？

Answer 1

【答案】

【解析】

設x1，x2是關于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的兩實根，根據(jù)判別式△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0可求得a≤，可得a的取值范圍．對要求值的式子化簡：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4，這是一個關于a的一元二次方程，其對稱軸是a=2，開口方向向上．根據(jù)開口向上的二次函數(shù)的性質(zhì)：距對稱軸越近，其函數(shù)值越小．故在a≤的范圍內(nèi)，當a＝時，x12+x22的值最��；此時x12＋x22＝2－4＝，即最小值為.

∵方程有兩個實數(shù)根，

∴Δ＝(2a)2－4(a2＋4a－2)≥0，

∴a≤.

又∵x1＋x2＝－2a，x1x2＝a2＋4a－2，

∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2(a－2)2－4.

∵a≤，

∴當a＝時，x12＋x22的值最�。�

此時x12＋x22＝2－4＝，即最小值為.