Question

（2013•常熟市模擬）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，10）（8，4），點(diǎn)C在第一象限，且CE⊥x軸于E點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上，從A出發(fā)沿A-B-C-D以每秒1個(gè)單位的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q（1，0）以相同的速度在x軸上沿正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至（20.5，0）時(shí)，則動(dòng)點(diǎn)P在

BC

邊上；
（2）求正方形點(diǎn)C坐標(biāo)；
（3）問(wèn)是否存在t（0≤t≤10）值，使△OPQ的面積最大？若存在，求出t值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得出正方形的邊長(zhǎng)，結(jié)合P，Q點(diǎn)的速度，分析可得答案；
（2）在Rt△AFB中，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，與FB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，易得△ABF≌△BCH，進(jìn)而可得C得坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥x軸于點(diǎn)N，易得△APM∽△ABF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，有

AP

AB

=

AM

AF

=

MP

BF

，設(shè)△OPQ的面積為S，計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，
根據(jù)題意，AF=10-4=6，BF=8，
∴AB=

82+62

=10，
∴當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至（20.5，0）時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：20.5-1=19.5（秒），
∴動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，與FB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H．
∵∠ABC=90°=∠AFB=∠BHC
∴∠ABF+∠CBH=90°，∠ABF=∠BCH，∴∠FAB=∠CBH，
在△ABF和△BCH中

∠BFA=∠CHF ∠HBC=∠FAB AB=BC

，
∴△ABF≌△BCH（AAS）．
∴AF=BH=6，CH=BF=8，
∴OE=FH=8+6=14，CE=8+4=12．
∴所求C點(diǎn)的坐標(biāo)為（14，12）．

（3）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥x軸于點(diǎn)N，
則△APM∽△ABF．
∴

AP

AB

=

AM

AF

=

MP

BF

．
∴

t

10

=

AM

6

=

MP

8

．
∴AM=

3

5

t，PM=

4

5

t．
∴PN=OM=10-

3

5

t，ON=PM=

4

5

t．
∵開(kāi)始時(shí)Q（1，0），動(dòng)點(diǎn)Q以相同速度在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，
∴OQ=1+t，
設(shè)△OPQ的面積為S（平方單位）
∴S=

1

2

×（10-

3

5

t）（1+t）=5+

47

10

t-

3

10

t2（0≤t≤10）
∵a=-

3

10

＜0
∴當(dāng)t=

- 47 10

2×(- 3 10 )

=

47

6

時(shí)，△OPQ的面積最大．
故答案為：BC．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似形與函數(shù)的綜合應(yīng)用，要熟練掌握相似的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，并能夠?qū)⑺麄兣c二次函數(shù)的應(yīng)用有效的結(jié)合起來(lái)；解決此類問(wèn)題，注意數(shù)形結(jié)合得思想的運(yùn)用．