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        1. 【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c的頂點坐標為M(0,﹣1),與x軸交于A、B兩點.

          (1)求拋物線的解析式;
          (2)判斷△MAB的形狀,并說明理由;
          (3)過原點的任意直線(不與y軸重合)交拋物線于C、D兩點,連接MC,MD,試判斷MC、MD是否垂直,并說明理由.

          【答案】
          (1)

          解:∵拋物線y=x2+bx+c的頂點坐標為M(0,﹣1),

          ,解得b=0,c=﹣1,

          ∴拋物線的解析式為:y=x2﹣1


          (2)

          解:△MAB是等腰直角三角形.

          由拋物線的解析式為:y=x2﹣1可知A(﹣1,0),B(1,0),

          ∴OA=OB=OM=1,

          ∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°,

          ∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°,AM=BM,

          ∴△MAB是等腰直角三角形


          (3)

          解:MC⊥MD;

          分別過C點,D點作y軸的平行線,交x軸于E、F,過M點作x軸的平行線交EC延長線于G,交DF于H,

          設(shè)D(m,m2﹣1),C(n,n2﹣1),

          ∴OE=﹣n,CE=1﹣n2,OF=m,DF=m2﹣1,

          ∵OM=1,

          ∴CG=n2,DH=m2

          ∵EG∥DH,

          ,

          =

          m(1﹣n2)=﹣n(m2﹣1),

          m﹣mn2=﹣m2n+n,

          (m2n﹣mn2)=﹣m+n,

          mn(m﹣n)=﹣(m﹣n),

          ∴mn=﹣1

          解得m=﹣ ,

          = =﹣n, = = =﹣n,

          =

          ∵∠CGM=∠MHD=90°,

          ∴△CGM∽△MHD,

          ∴∠CMG=∠MDH,

          ∵∠MDH+∠DMH=90°

          ∴∠CMG+∠DMH=90°,

          ∴∠CMD=90°,

          即MC⊥MD.


          【解析】(1)待定系數(shù)法即可解得.(2)由拋物線的解析式可知OA=OB=OM=1,得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°從而得出△MAB是等腰直角三角形.(3)分別過C點,D點作y軸的平行線,交x軸于E、F,過M點作x軸的平行線交EC于G,交DF于H,設(shè)D(m,m2﹣1),C(n,n2﹣1),通過EG∥DH,得出 ,從而求得m、n的關(guān)系,根據(jù)m、n的關(guān)系,得出△CGM∽△MHD,利用對應(yīng)角相等得出∠CMG+∠DMH=90°,即可求得結(jié)論.
          【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識,掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點,以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解,了解增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。

          練習冊系列答案
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